Enunciado

Expresse D como a região do tipo I e também como uma região do tipo I I . Em seguida, calcule a integral dupla de duas maneiras.

∬ D x d A ,     D   é   l i m i t a d a   p e l a s   r e t a s   y = x ,   y = 0 , x = 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Como D é limitado pelas retas y = x , y = 0 e x = 1 , vamos plotar estas retas para ver como fica a região D :

Temos que a região D é a delimitada em vermelho.

Nosso objetivo é encontrar a integral dupla que define esta região.

Passo 2

Podemos definir esta região como do tipo I , quando:

D x , y 0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ x

Temos então que:

∬ D f x , y d A = ∫ 0 1 ∫ 0 x x d y d x

Vamos resolver a integral de dentro:

∫ 0 x x d y = x y 0 x

∫ 0 x x d y = x 2

Logo:

∫ 0 1 ∫ 0 x x d y d x = ∫ 0 1 x 2 d x

Então:

∫ 0 1 x 2 d x = x 3 3 0 1

∫ 0 1 x 2 d x = 1 3

Portanto:

∬ D f x , y d A = ∫ 0 1 ∫ 0 x x d y d x = 1 3

Passo 3

Agora vamos definir D como uma região do tipo I I . Temos:

D x , y 0 ≤ y ≤ 1 ,   y ≤ x ≤ 1

Temos então que:

∬ D f x , y d A = ∫ 0 1 ∫ y 1 x d x d y

Vamos resolver a integral de dentro:

∫ y 1 x d x = x 2 2 y 1

∫ y 1 x d x = 1 2 - y 2 2

Logo:

∫ 0 1 ∫ y 1 x d x d y = ∫ 0 1 1 2 - y 2 2 d y

Temos que:

∫ 0 1 1 2 - y 2 2 d y = ∫ 0 1 1 2 d y - ∫ 0 1 y 2 2 d y

Resolvendo, temos:

∫ 0 1 1 2 d y - ∫ 0 1 y 2 2 d y = 1 2 y 0 1 - y 3 6 0 1

∫ 0 1 1 2 d y - ∫ 0 1 y 2 2 d y = 1 2 - 1 6

∫ 0 1 1 2 d y - ∫ 0 1 y 2 2 d y = 2 6 = 1 3

Portanto:

∬ D f x , y d A = ∫ 0 1 ∫ y 1 x d x d y = 1 3

Resposta

∬ D f x , y d A = ∫ 0 1 ∫ 0 x x d y d x = 1 3

∬ D f x , y d A = ∫ 0 1 ∫ y 1 x d x d y = 1 3

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