Enunciado

A integral

f x = 1 σ 2 π   e - 1 2 x - μ σ 2 é chamada função densidade de probabilidade normal, com média μ e desvio padrão σ e tem aplicações importantes em probabilidade e estatística .

  1. Dê um argumento convincente de que ∫ - ∞ ∞   1 σ 2 π   e - 1 2 x - μ σ 2 .

Passo 1

Nós podemos tomar ∫ - n n   f x d x   o mais próximo possível de 1, escolhendo n> 1 grande o suficiente. Além disso, podemos fazer ∫ n ∞   f x d x tão pequeno quanto queremos, escolhendo n grande o suficiente. Isto é possível porque 0 < f x < e - n 2   para x > 1 . Então,

∫ n ∞   f x d x < ∫ n ∞   e - x 2   d x   .  

E, como

∫ n ∞   e - x 2   d x = lim c → ∞ ⁡ ∫ n c   e - x 2 d x   =   l i m c → ∞   - 2 e - x 2 n c = l i m c → ∞   - 2   e - c 2 + 2 e - n 2 =   2 e - n 2  

Quando n → ∞ 2 e - n 2 → 0 , para n grande, ∫ n ∞   f x d x é tão pequena quanto nos desejarmos. Da mesma forma para n grande o suficiente,

∫ - ∞ - n   f x d x é tão pequena quando a gente queira.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A roleta de um jogo de mesa indica aleatoriamente um número real entre 0 e 10 . A roleta é honesta, no sentido de que indica um número em um dado intervalo com a mesma probabilidade que indica um núme
O desvio padrão para uma variável aleatória com função densidade de probabilidade f e média μ é definido como σ = ∫ - ∞ ∞ x - μ 2 f x d x 1 2 Calcule o desvio padrão para uma função densidade exponenc
Explique por que a função cujo gráfico é mostrado é uma função densidade de probabilidade. Use o gráfico para encontrar as seguintes probabilidades: P ( X3 ) P ( 3 ≤ X ≤ 8 ) Calcule a média.
O átomo de hidrogênio é composto por um próton no núcleo e um elétron, que se move ao redor do núcleo. Na teoria quântica de estrutura atômica supõe-se que o elétron não se mova em uma órbita bem defi
Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente. ∫ 0 ∞ arctg ⁡ x 2 + e x d x