Enunciado

27- Existe uma curva lisa y = f ( x ) (continuamente derivável) cujo comprimento ao longo do intervalo 0 ≤ x ≤ a seja sempre 2 a ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Da fórmula do tamanho do arco temos a seguinte fórmula:

2 a = ∫ 0 a 1 + d y d x 2   d x

Mas como a não é um valor fixo, podemos dizer que ele varia de acordo com x tendo a seguinte integral.

2 x = ∫ 0 x 1 + d y d x 2   d x

Derivando em relação a x os dois lados teremos:

2 = 1 + d y d x 2

Elevando ao quadrado:

2 = 1 + d y d x 2

1 = d y d x 2

Logo:

d y d x = ± 1

A função pode ser crescente ou decrescente:

d y = ± d x

Integrando os dois lados:

y = ± x + c

Onde c pode ser qualquer número real.

Logo existe sim uma solução .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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