Enunciado

A interpretação geométrica do teorema do valor médio é que para um valor adequado de c no intervalo aberto ( a ,   b ) , a reta tangente à curva y = f ( x ) no ponto c ,   f c é paralela à secante que passa pelos pontos a ,   f a e b ,   f b . Ache um valor de c que satisfaça a conclusão do teorema do valor médio, faça um esboço do gráfico no intervalado fechado [ a ,   b ] e coloque no gráfico as retas tangente e secante.

f x = x 2 ,   a = 2 ,   b = 4

Passo 1

Como f é uma função polinomial, ela será contínua para todo x real, em particular será continua no intervalo [ 2 ,   4 ] . Mesma justificativa garante f ser derivável em ( 2 ,   4 ) . Logo, pelo teorema do valor médio, existe c ∈ ( 2 ,   4 ) tal que:

f ' c = 4 2 - 2 2 4 - 2 ⇒

f ' c = 16 - 4 2 ⇒

f ' c = 6

Pela definição de derivada temos:

f ' x = 2 x 2 - 1 ⇒

f ' x = 2 x

Assim:

f ' c = 2 c = 6 ⇒

2 c = 6 ⇒

c = 6 2 ⇒

c = 3

Passo 2

Substituindo este valor de c na função f temos:

f 3 = 3 2 = 9

Temos também:

f a = f 2 = 2 2 = 4

f b = f 4 = 4 2 = 16

Queremos encontrar a reta que seja tangente a f passando pelo ponto ( 3 ,   9 ) e que seja paralela à reta que passa por ( 2 ,   4 ) e   ( 4 ,   16 ) . A reta que que passa por esses pontos terá inclinação:

m = 16 - 4 4 - 2 ⇒

m = 12 2 ⇒

m = 6

Queremos encontrar a reta que passa por ( 3 ,   9 ) e tenha inclinação 6. Assim:

y - 9 = 6 x - 3 ⇒

y - 9 = 6 x - 18 ⇒

y = 6 x - 1 8 + 9

y = 6 x - 9

Resposta

Portanto, c = 3 satisfaz o teorema do valor médio. Esboço da função f no intervalo [ 2 ,   4 ] , das retas tangente e secante a f em x = 4 :

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