Enunciado

  1. Mostre que um polinômio de grau 3   tem no máximo três raízes reais.

Passo 1

Opa! Vamos pra mais uma? Na primeira parte dessa questão temos que mostrar que o um polinômio de grau 3   tem no máximo três raízes reais.

Iremos utilizar a prova pela dedução a impossível, para provar que é impossível precisamos primeiro supor que é possível! Então vamos supor que um polinômio qualquer P ( x ) tem quatro raízes reais:

( r 1 , r 2 , r 3 , r 4 )

Logo podemos dizer que:

P r 1 = P r 2 = P r 2 = P r 4

Vamos dizer que:

r 1 < r 2 < r 3 < r 4

Passo 2

Se a nossa função é um polinômio ela irá obedecer ao Teorema de Rolle, uma vez que ela será contínua e diferençável, então existem três números c 1 , c 2 e c 3 de modo que:

r 1 < c 1 < r 2

r 2 < c 2 < r 3

r 3 < c 3 < r 4

E:

P ' c 1 = P ' c 2 = P ' c 3 = 0

Sendo P ' a derivada de P , então ele deverá ser um polinômio de segundo grau, e o mesmo pode apenas ter 2 raízes reais. Mas terminamos de dizer que P ' ( x ) tem três raízes, o que é impossível!

Então podemos concluir que um polinômio de grau 3   tem no máximo três raízes reais!

Resposta

Desenvolvimento acima.

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