Enunciado

Seja   f x = tg ⁡ x . Mostre que f 0 = f ( π ) , mas não existe um número c em ( 0 ,   π ) tal que f ' c = 0 . Por que isso não contradiz o Teorema de Rolle?

Passo 1

Primeiro vamos fazer a substituição dos números 0 e π em f ( x ) para provar que são iguais:

f 0 = tg ⁡ 0 = 0

f π = tg ⁡ π = 0

Logo, f 0 = f ( π ) .

Passo 2

Agora, derivamos para provar a segunda parte:

f ' x = sec 2 ⁡ x ≥ 1

Logo, f ' ( c ) = 0 realmente não possui solução pois a derivada precisa ser maior ou igual a 1 .

Passo 3

Isso não contradiz o Teorema de Rolle porque f ' π 2 não existe, e também porque f não é derivável nem contínua em ( 0 , π ) .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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