Enunciado

A interpretação geométrica do teorema do valor médio é que para um valor adequado de c no intervalo aberto ( a ,   b ) , a reta tangente à curva y = f ( x ) no ponto c ,   f c é paralela à secante que passa pelos pontos a ,   f a e b ,   f b . Ache um valor de c que satisfaça a conclusão do teorema do valor médio, faça um esboço do gráfico no intervalado fechado [ a ,   b ] e coloque no gráfico as retas tangente e secante.

f x = x 2 ,   a = 3 ,   b = 5

Passo 1

Como f é uma função polinomial, ela será contínua para todo x real, em particular será continua no intervalo [ 3 ,   5 ] . Mesma justificativa garante f ser derivável em ( 3 ,   5 ) . Logo, pelo teorema do valor médio, existe c ∈ ( 3 ,   5 ) tal que:

f ' c = 5 2 - 3 2 5 - 3 ⇒

f ' c = 25 - 9 2 ⇒

f ' c = 8

Pela definição de derivada temos:

f ' x = 2 x 2 - 1 ⇒

f ' x = 2 x

Assim:

f ' c = 2 c = 8 ⇒

2 c = 8 ⇒

c = 8 2 ⇒

c = 4

Passo 2

Substituindo este valor de c na função f temos:

f 4 = 4 2 = 16

Temos também:

f a = f 3 = 3 2 = 9

f b = f 5 = 5 2 = 25

Queremos encontrar a reta que seja tangente a f passando pelo ponto ( 4 ,   16 ) e que seja paralela à reta que passa por ( 3 ,   9 ) e   ( 5 ,   25 ) . A reta que que passa por esses pontos terá inclinação:

m = 25 - 9 5 - 3 ⇒

m = 16 2 ⇒

m = 8

Queremos encontrar a reta que passa por ( 4 ,   16 ) e tenha inclinação 8. Assim:

y - 16 = 8 x - 4 ⇒

y - 16 = 8 x - 32 ⇒

y = 8 x - 32 + 16

y = 8 x - 16

Resposta

Portanto, c = 4 satisfaz o teorema do valor médio. Esboço da função f no intervalo [ 3 ,   5 ] , das retas tangente e secante a f em x = 4 :

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A interpretação geométrica do teorema do valor médio é que para um valor adequado de c no intervalo aberto ( a ,b ) , a reta tangente à curva y = f ( x ) no ponto c ,f c é paralela à secante que passa