Enunciado

Prove, pelo teorema de Rolle, que a equação x 3 + 2 x + c = 0 , onde c é qualquer constante, não pode ter mais do que uma raiz real.

Passo 1

Seja f x = x 3 + 2 x + c . Suponha que existem a , b ∈ R , com a < b , tais que f a = f b = 0 , ou seja, a e   b são soluções da equação x 3 + 2 x + c = 0 .

Observe que f é uma função polinomial, logo é contínua e derivável para qualquer intervalo de números reais. Em particular, f é contínua em [ a ,   b ] e derivável em ( a ,   b ) .

Passo 2

Assim, pelo teorema de Rolle, existe d ∈ ( a ,   b ) tal que f ' d = 0 . Pelas regas de derivação temos f ' d = 3 d 2 + 2 , ou seja, 3 d 2 + 2 .

Note que, como d ∈ R , d 2 ≥ 0 . Assim, 3 d 2 ≥ 0 e 3 d 2 + 2 ≥ 2 .

Ou seja, temos f ' d = 3 d 2 + 2 ≥ 2 e f ' d = 0 , o que é um absurdo pois 0 < 2 .

Portanto não existem a e b reais tais que a = f b = 0 , ou seja, x 3 + 2 x + c = 0 não pode ter mais do que uma raiz real, como queríamos mostrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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