Enunciado

A interpretação geométrica do teorema do valor médio é que para um valor adequado de c no intervalo aberto ( a ,   b ) , a reta tangente à curva y = f ( x ) no ponto c ,   f c é paralela à secante que passa pelos pontos a ,   f a e b ,   f b . Ache um valor de c que satisfaça a conclusão do teorema do valor médio, faça um esboço do gráfico no intervalado fechado [ a ,   b ] e coloque no gráfico as retas tangente e secante.

f x = 2 c o s ( x ) ,   a = π 3 ,   b = 2 π 3

Passo 1

Como f é uma função trigonométrica, ela será contínua para todo x real, em particular será continua no intervalo π 3 , 2 π 3 . Mesma justificativa garante f ser derivável em π 3 , 2 π 3 . Logo, pelo teorema do valor médio, existe c ∈ π 3 , 2 π 3 tal que:

f ' c = 2 c o s 2 π 3 - 2 c o s π 3 2 π 3 - π 3 ⇒

f ' c = 2 - 1 2 - 2 1 2 π 3 ⇒

f ' c = - 1 - 1 π 3 ⇒

f ' c = - 2 π 3 ⇒

f ' c = - 6 π ⇒

Pela definição de derivada temos:

f ' x = - 2 s e n ⁡ ( x )

Assim:

f ' c = - 2 sen ⁡ c = - 6 π ⇒

- 2 sen ⁡ c = - 6 π ⇒

2 s e n c = 6 π ⇒

s e n c = 3 π ⇒

c = 1,27

Passo 2

Substituindo este valor de c na função f temos:

f 1,27 = 2 c o s ⁡ ( 1,27 ) = 0,59

Temos também:

f a = f π 3 = 2 cos ⁡ π 3 = 1

f b = f 2 π 3 = 2 cos ⁡ 2 π 3 = - 1

Queremos encontrar a reta que seja tangente a f passando pelo ponto ( 1,27 ,   0,59 ) e que seja paralela à reta que passa por ( π 3 ,   1 ) e   2 π 3 ,   - 1 . A reta que que passa por esses pontos terá inclinação:

m = - 1 - 1 2 π 3 - π 3 ⇒

m = - 2 π 3 ⇒

m = - 6 π

Queremos encontrar a reta que passa por ( 1,27 ,   0,59 ) e tenha inclinação - 6 π . Assim:

y - 0,59 = - 6 π x - 1,27 ⇒

y = - 6 x π + 3,01 ⇒

Resposta

Portanto, c = 1,27 satisfaz o teorema do valor médio. Esboço da função f no intervalo π 3 , 2 π 3 . das retas tangente e secante a f em x = 1,27 :

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