Enunciado

Se f (x) = int_0^x (1 - t^2) e^(t^2) d t , em qual intervalo f é crescente ?

Passo 1

Já que temos que saber onde f é crescente, precisamos encontrar a derivada, concorda? A gente viu nos capítulos anteriores que a função é crescente onde a derivada é positiva. Então é isso que vamos analisar. Bora lá!

Usando o Teorema fundamental do cálculo,

f ' (x) = (d)/(d x) (int_0^x (1 - t^2) e^(t^2) d t)

Ou seja,

f^' (x) = (1 - x^2) e^(x^2)

Passo 2

Como precisamos que a função seja crescente, precisamos que

f^' (x) > 0

Ou seja,

(1 - x^2) e^(x^2) > 0

Isso significa que temos duas situações:

  1. (1 - x^2) > 0 e e^(2 x) > 0
  2. (1 - x^2) < 0 e e^(2 x) < 0

Mas, veja, a exponencial é sempre positiva, então a situação II nunca irá acontecer. Daí, de I),

(1 - x^2) > 0 => 1 > x^2 => |x| < 1

Em outras palavras,

x in ( - 1,1 )

Resposta

x in ( - 1,1 )

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