Enunciado

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ 0 ∞ sin 2 ⁡ α   d α

Passo 1

Fala aí! Tudo bom?! Bora resolver uma integralzinha! Aqui temos:

∫ 0 ∞ sin 2 ⁡ α   d α

O enunciado pede pra a gente determinar se essa integral é convergente ou divergente e se ela for convergente temos que calcula-la!

Temos uma integral imprópria do tipo 1, ou seja, com intervalo infinito. Por definição temos que:

∫ a ∞ f ( x ) d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ a t f ( x ) d x

Então pra resolver essa questão, vamos primeiro escrever ela como um limite. Depois a gente calcula a integral e por último a gente avalia: É possível calcular o limite?

A melhor forma de descobrir se uma coisa é possível é tentando! Se chegarmos a um resultado numérico, então a nossa integral é convergente, se não ela é divergente.

Passo 2

Beleza, vamos colocar a mão na massa. Escrevendo a nossa integral na forma de limite, temos:

∫ 0 ∞ sin 2 ⁡ α d α = lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t sin 2 ⁡ α d α

Vamos pensar que método poderíamos usar pra resolver a nossa integral:

∫ 0 ∞ sin 2 ⁡ α   d α

Procurando entre as identidades trigonométricas vemos que:

sin 2 ⁡ x = cos ⁡ 2 x - 1 2

Então podemos fazer:

∫ 0 ∞ cos ⁡ 2 α - 1 2   d α

Jogando a constante pra for a e lembrando que a integral de uma soma é a soma das integrais, temos que:

∫ 0 ∞ cos ⁡ 2 α - 1 2 d α = lim t → ∞ ⁡ 1 2 ∫ 0 t cos ⁡ 2 α d α - 1 2 ∫ 0 t d α

Passo 3

Pra calcular essa integral vamos ignorar os limites e fazer de conta que ela é uma integral indefinida. Depois a gente volta com os intervalos direitinho, ok?

∫ cos ⁡ 2 α - 1 2   d α = 1 2 ∫ cos ⁡ 2 α   d α - 1 2 ∫ d α

Vamos calcular cada integral separadamente. Temos:

1 2 ∫ cos ⁡ 2 α

Como falamos lá na parte da estratégia, aqui vamos usar o método de substituição simples, fazendo:

u = 2 α

Derivando:

d u d α = 2 → d α = d u 2

Substituindo:

1 2 ∫ cos ⁡ 2 α = 1 2 ∫ cos ⁡ u d u 2

Arrumando, ficamos com:

1 4 ∫ cos ⁡ u   d u

Essa integral é tabelada! Temos que:

∫ cos ⁡ x   d x = - sin ⁡ x + C

Então:

1 4 ∫ cos ⁡ u   d u = - 1 4 sin ⁡ u + C

Lembrando que u = 2 α . Vamos voltar pra variável original:

1 2 ∫ cos ⁡ 2 α = - 1 4 sin ⁡ 2 α + C

Agora vamos integrar:

1 2 ∫ d α

Essa não tem mistério, é como se tivéssemos α 0 que é igual a 1 , então pela regra da potência:

1 2 ∫ d α = 1 2 α 1 1 + C

Finalmente podemos juntar tudo:

∫ cos ⁡ 2 α - 1 2   d α = - 1 4 sin ⁡ 2 α + 1 2 α   + C

Passo 4

Agora podemos avaliar nosso limite:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t sin 2 ⁡ α d α = l i m t → ∞ - 1 4 sin ⁡ 2 α + 1 2 α   0 t

A constante foi embora porque a nossa integral é definida. Aplicando os limites de integração:

l i m t → ∞ - 1 4 sin ⁡ 2 α + 1 2 α   0 t = l i m t → ∞ - 1 4 sin ⁡ 2 t + 1 2 t - - 1 4 sin ⁡ 0 + 1 2 0

Arrumando temos:

l i m t → ∞ - 1 4 sin ⁡ 2 t + 1 2 t

Aqui a gente tem que parar pra refletir um pouquinho! O seno é uma função trigonométrica que sempre vai variar entre - 1 ≤ sin ⁡ x ≤ 1 . O fato de ter o 2 t ali no ângulo não muda nada, vamos continuar tendo:

- 1 ≤ sin ⁡ 2 t ≤ 1

Então, concorda comigo que a medida que vamos pro infinito o seno vai continuar oscilando e nunca vai convergir pra um número fixo?!

Então a nossa função é divergente!

Resposta

∫ 0 ∞ sin 2 ⁡ α   d α é divergente.

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Nos exercícios 27 a 29, ache os valores de n para os quais a integral imprópria converge e para esses valores calcule a integral.27. ∫ 0 1 x n d x
Nos exercícios de 19 a 32, determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente , calcule-a.22. ∫ 2 4 x d x x - 2