Enunciado

3. Inverter a ordem de integração:

g) int_0^1 int_(2 x)^(3 x) f (x , y) d y d x

Passo 1

Pelos intervalos de integração, temos que:

{[[2 x <= y <= 3 x],[0 <= x <= 1]])

Desses intervalos conseguimos obter 4 informações muito importantes:

x = 0

x = 1

y = 3 x

y = 2 x

Desenhando a região, obtemos o seguinte gráfico:

Nesse caso, temos o x variando num intervalo numérico, o que denomina uma região do tipo 1. Logo, precisamos passar para uma região do tipo 2, onde meu y varia em um intervalo numérico.

Passo 2

Na região do tipo 2, teremos o y variando entre os seguintes intervalos:

0 <= y <= 3

Passo 3

Para escrever como uma região do tipo 2, nosso x não terá mais uma variação numérica. Para obter a nova variação, pegue o gráfico e imagine uma seta indo no sentido positivo do eixo x , da seguinte maneira:

Assim, a seta toca em duas retas, que colocando em função de x , são as seguintes:

y = 2 x :. x = (y)/(2)

y = 3 x :. x = (y)/(3)

Dessa forma, temos:

{[[(y)/(3) <= x <= (y)/(2)],[0 <= y <= 3]])

Entretanto, não é possível escrever tais intervalos. Por isso, precisamos dividir em duas figuras, para obter a nova área. Veja na figura abaixo representadas pelos números 1 e 2:

Dessa, forma teremos duas integrais, para cada figura, respeitando a região do topo 2:

int_0^2 int_((y)/(3))^((y)/(2)) f (x , y) d x d y + int_2^3 int_((y)/(3))^1 f (x , y) d x d y

Resposta

int_0^2 int_((y)/(3))^((y)/(2)) f (x , y) d x d y + int_2^3 int_((y)/(3))^1 f (x , y) d x d y

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