Enunciado

3. Inverter a ordem de integração:

  1. int_0^4 int_0^((y)/(2)) f (x , y) d x d y

Passo 1

Pelos intervalos de integração, temos que:

{[[0 <= x <= (y)/(2)],[0 <= y <= 4]])

Desses intervalos conseguimos obter 4 informações muito importantes:

x = (y)/(2)

x = 0

y = 0

y = 4

Desenhando a região, obtemos o seguinte gráfico:

Nesse caso, temos o y variando num intervalo numérico, o que denomina uma região do tipo 2. Logo, precisamos passar para uma região do tipo 1, onde meu x varia em um intervalo numérico.

Passo 2

Observando o gráfico, conseguimos um novo intervalo numérico para x , onde:

0 <= x <= 2

Como vamos escrever uma região do tipo 1, nosso y não terá mais uma variação numérica. Para obter o novo intervalo, pegue o gráfico e imagine uma seta subindo pelo eixo y , da seguinte maneira:

Assim, a seta toca primeiro na reta e depois na outra reta, onde y = 4 . Entretanto, qual é a primeira reta??? Calma, podemos obtê-la da seguinte maneira,

x = (y)/(2) :. y = 2 x

Dessa forma, temos:

{[[0 <= x <= 2],[2 x <= y <= 4]])

Portanto,

int_0^2 int_(2 x)^4 f (x , y) d y d x

Resposta

int_0^2 int_(2 x)^4 f (x , y) d y d x

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Inverta a ordem de integração.
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