3. Inverter a ordem de integração:

f) ∫ 0 2 ∫ 0 y 2 f x , y d x d y

Passo 1

Pelos intervalos de integração, temos que:

0   ≤ y ≤ 2 0 ≤ x ≤ y 2

Desses intervalos conseguimos obter 4 informações muito importantes:

x = 0

x = y 2

y = 0

y = 2

Desenhando a região, obtemos o seguinte gráfico:

Nesse caso, temos o y variando num intervalo numérico, o que denomina uma região do tipo 2. Logo, precisamos passar para uma região do tipo 1, onde meu x varia em um intervalo numérico.

Passo 2

Na região do tipo 1, teremos o x variando entre os seguintes intervalos:

0 ≤ y ≤ 4

Passo 3

Para escrever como uma região do tipo 1, nosso y não terá mais uma variação numérica. Para obter a nova variação, pegue o gráfico e imagine uma seta indo no sentido positivo do eixo y , da seguinte maneira:

Assim, a seta toca em duas partes, a primeira é uma função e segunda é a reta, na qual y = 2 . Essas duas bordas, serão justamente meus novos limites. Entretanto, como podemos representar isso em função de y ??? Calma, podemos obtê-la da seguinte maneira,

x = y 2 ∴ y = x

Dessa forma, temos:

x ≤ y ≤ 2 0 ≤ x ≤ 4

Portanto,

∫ 0 4 ∫ x 2 f x , y d y d x

Resposta

∫ 0 4 ∫ x 2 f x , y d y d x

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