3. Inverter a ordem de integração:

g) ∫ 0 1 ∫ 2 x 3 x f x , y d y d x

Passo 1

Pelos intervalos de integração, temos que:

2 x ≤ y ≤ 3 x 0 ≤ x ≤ 1

Desses intervalos conseguimos obter 4 informações muito importantes:

x = 0

x = 1

y = 3 x

y = 2 x

Desenhando a região, obtemos o seguinte gráfico:

Nesse caso, temos o x variando num intervalo numérico, o que denomina uma região do tipo 1. Logo, precisamos passar para uma região do tipo 2, onde meu y varia em um intervalo numérico.

Passo 2

Na região do tipo 2, teremos o y variando entre os seguintes intervalos:

0 ≤ y ≤ 3

Passo 3

Para escrever como uma região do tipo 2, nosso x não terá mais uma variação numérica. Para obter a nova variação, pegue o gráfico e imagine uma seta indo no sentido positivo do eixo x , da seguinte maneira:

Assim, a seta toca em duas retas, que colocando em função de x , são as seguintes:

y = 2 x ∴ x = y 2

y = 3 x ∴ x = y 3

Dessa forma, temos:

y 3 ≤ x ≤ y 2 0 ≤ y ≤ 3

Entretanto, não é possível escrever tais intervalos. Por isso, precisamos dividir em duas figuras, para obter a nova área. Veja na figura abaixo representadas pelos números 1 e 2:

Dessa, forma teremos duas integrais, para cada figura, respeitando a região do topo 2:

∫ 0 2 ∫ y 3 y 2 f x , y d x d y + ∫ 2 3 ∫ y 3 1 f x , y d x d y

Resposta

∫ 0 2 ∫ y 3 y 2 f x , y d x d y + ∫ 2 3 ∫ y 3 1 f x , y d x d y

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