Enunciado

Investigue a família das curvas dadas por f x = e x - c x . Em particular, encontre os limites quando x → ± ∞ e determine os valores e c para os quais f tem um mínimo absoluto. O que acontece aos mínimos quando c cresce?

Passo 1

Temos que f ' x = e x - c   , encontrando os pontos críticos

f ' x = 0 ⇒ e x = c  

x = ln ⁡ c  

Logo, para que haja ponto crítico e possível máximo e mínimo, c > 0 . Já f ' ' x = e x > 0 , ou seja, f é côncava para cima para qualquer valor real .

Vamos analisar os limites,

lim x → ∞ ⁡   e x - c x =   l i m x → ∞   e x x - c = L 1

Como c constante.

  l i m x → ∞   e x x =   l i m x → ∞ e x 1 = ∞

O que significa que

L 1 = ∞

Para que as contas dependam de c , ou seja,

lim x → - ∞ ⁡   e x - c x = L  

Temos que

lim x → - ∞ ⁡   e x = 0 ⇒ lim x → - ∞ ⁡   - c x

Se c > 0 , -   c x → ∞ e L = ∞

Se c < 0 , -   c x → - ∞ e L = - ∞

Então f tem um mínimo absoluto em c > 0 . Com c   é crescente então o mínimo esta em ln ⁡ c ,   c - ln ⁡ c )   e cada vez mais longe da origem.

Passo 2

Vamos usar o software geogebra. Na janela de álgebra vamos por a função e plotar o gráfico de f e verificar nossas contas.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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