Enunciado

Calcule o limite usando um dos métodos estudados no Capítulo 2.

lim x → 0 ⁡ 1 - c o s ⁡ ( x ) x 2

Passo 1

Queremos calcular o limite sem a aplicação da regra de L’Hôpital, ou seja, desejamos resolver o limite utilizando alguma forma de fatoração para tentar chegar em algum limite fundamental e/ou conseguir fugir da indeterminação e apenas substituir os valores.

Passo 2

Se apenas tentarmos substituir o valor de x por 0 cairemos em uma indeterminação do tipo 0 / 0 . No entanto, se lembrarmos da relação fundamental da trigonometria vamos ter que s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 → s e n 2 x = 1 - cos 2 ⁡ x = 1 - cos ⁡ x ⋅ ( 1 + c o s ⁡ ( x ) ) . Assim, multiplicando nosso numerador e denominador, presentes no limite, por ( 1 + c o s ⁡ ( x ) ) obteremos

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x ⋅ ( 1 + c o s ⁡ ( x ) )   x 2 ⋅ ( 1 + c o s ⁡ ( x ) )   =

lim x → 0   ⁡ 1 - cos 2 ⁡ x   x 2 ⋅ 1 + cos ⁡ x =

lim x → 0   ⁡ s e n 2 ( x ) x 2 ⋅ ( 1 + c o s ⁡ ( x ) )   =

Lembrando das propriedades de limite, podemos fazer

lim x → 0   ⁡ s e n x x 2 ⋅ l i m x → 0 1 1 + cos ⁡ x =

O limite lim x → 0   ⁡ s e n x x é o limite fundamental trigonométrico e tem seu valor igual a 1, para o outro limite basta substituirmos x por 0 e vamos obter

1 2 ⋅ l i m x → 0 1 1 + cos ⁡ x = 1 ⋅ 1 1 + 1 = 1 2

Resposta

R :   1 2

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