Enunciado

Calcule a integral.

int_0^1 (x^3 - 4 x - 10)/(x^2 - x - 6) d x

Passo 1

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Como o grau do numerador é maior que o grau do denominador, vamos dividir os dois:

Dividindo x^3 - 4 x - 10 por x^2 - x - 6 vamos ter um quociente x + 1 e resto 3 x - 4 , assim:

(x^3 - 4 x - 10)/(x^2 - x - 6) = x + 1 + (3 x - 4)/(x^2 - x - 6)

Agora vamos fatorar o denominador, achando as raízes de x temos:

Usando Bhaskara:

x = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a) = (- (- 1) +- sqrt((- 1)^2 - 4 * 1 * (- 6)))/(2 * 1) = (+ 1 +- sqrt(25))/(2) = (+ 1 +- 5)/(2)

Temos então:

x_1 = (+ 1 + 5)/(2) = (6)/(2) = 3

x_2 = (+ 1 - 5)/(2) = - (4)/(2) = - 2

Assim ficamos com:

(3 x - 4)/(x^2 - x - 6) = (3 x - 4)/((x - 3) (x + 2))

Passo 2

Temos o Caso I, onde o denominador é um produto de fatores lineares sem repetição:

(3 x - 4)/((x - 3) (x + 2)) = (A)/(x - 3) + (B)/(x + 2)

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores (x - 3) (x + 2) :

3 x - 4 = A (x + 2) + B (x - 3)

Vamos destrinchar agora e isolar os termos do polinômio:

3 x - 4 = A (x + 2) + B (x - 3) = A x + 2 A + B x - 3 B = x (A + B) + (2 A - 3 B)

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A + B = 3 -> A = 3 - B],[2 A - 3 B = - 4]])

Isolando A na primeira e substituindo na segunda, ficamos com:

2 A - 3 B = - 4 -> 2 (3 - B) - 3 B = - 4 -> 6 - 2 B - 3 B = - 4 -> B = 2

Assim achamos A :

A = 3 - 2 = 1

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

int (x^3 - 4 x - 10)/(x^2 - x - 6) d x = int x + 1 + (3 x - 4)/(x^2 - x - 6) = int x + 1 + (1)/(x - 3) + (2)/(x + 2) d x = int x d x + int 1 d x int (1)/(x - 3) d x + int (2)/(x + 2) d x

Pronto, agora vamos resolver as quatro separadamente.

Passo 3

A primeira é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int x d x = (x^(1 + 1))/(1 + 1) + C = (x^2)/(2) + C

A segunda também é simples achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int k d x = k x + C

Agora é só aplicar:

int 1 d x = x + C

Passo 4

Com a terceira vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = x - 3

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0 d t = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (1)/(x - 3) d x = int (1)/(u) d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

int (1)/(u) d u = ln |u| + C

Passo 5

Com a quarta vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = x + 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0 d t = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (2)/(x + 2) d x = int (2)/(u) d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

int (2)/(u) d u = 2 int (1)/(u) d u = 2 ln |u| + C

Passo 6

Juntando temos:

int x d x + int 1 d x int (1)/(x - 3) d x + int (2)/(x + 2) d x = (x^2)/(2) + x + ln |u| + 2 ln |u| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int x d x + int 1 d x int (1)/(x - 3) d x + int (2)/(x + 2) d x = (x^2)/(2) + x + ln |u| + 2 ln |u| + C = (x^2)/(2) + x + ln |x - 3| + 2 ln |x + 2| + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Vamos lá:

int_0^1 (x^3 - 4 x - 10)/(x^2 - x - 6) d x = ((x^2)/(2) + x + ln |x - 3| + 2 ln |x + 2|)_0^1 = (1^2)/(2) + 1 + ln |1 - 3| + 2 ln |1 + 2| - ((0^2)/(2) + 0 + ln |0 - 3| + 2 ln |0 + 2|) = (1)/(2) + 1 + ln |- 2| + 2 ln |3| - (+ ln |- 3| + 2 ln |2|) = (3)/(2) + ln 2 + 2 ln 3 - ln 3 - 2 ln 2 = (3)/(2) - ln 2 + ln 3

Resposta

int_0^1 (x^3 - 4 x - 10)/(x^2 - x - 6) d x = (3)/(2) + ln 2 + 2 ln 3 - ln 3 - 2 ln 2 = (3)/(2) - ln 2 + ln 3

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