Enunciado

Calcule a integral.

int_2^3 (1)/(x^2 - 1) d x

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular a seguinte integral:

int_2^3 (1)/(x^2 - 1) d x

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Lebrando que o Teorema Fundamental do Cálculo é:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Onde F é a primitiva de f .

Mas antes, temos que fazer algumas alterações nessa função aí dentro da integral.

Bora lá?? 😉

Passo 2

Vamos lá transformar a expressão usando Frações parciais, vai ser preciso fatorar o denominador:

(1)/(x^2 - 1) = (1)/((x + 1) (x - 1))

Agora é só usar o Caso I, onde o denominador é um produto de fatores lineares sem repetição:

(1)/((x + 1) (x - 1)) = (A)/(x + 1) + (B)/(x - 1)

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores (x + 1) (x - 1) :

1 = A (x - 1) + B (x + 1)

Vamos destrinchar agora e isolar os termos do polinômio:

1 = A (x - 1) + B (x + 1) = A x - A + B x + B = t (A + B) + (- A + B)

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A + B = 0 -> A = - B],[- A + B = 1]])

Isolando A na primeira e substituindo na segunda, ficamos com:

- A + B = 1 -> - (- B) + B = 1 -> B = (1)/(2)

Assim achamos A :

A = - (1)/(2)

Passo 3

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

int (1)/((x + 1) (x - 1)) d x = int - ((1)/(2))/(x + 1) + ((1)/(2))/(x - 1) d x :.

int (1)/((x + 1) (x - 1)) d x = int - (1)/(2 (x + 1)) d x + int (1)/(2 (x - 1)) d x

Pronto, agora vamos resolver as duas separadamente.

Passo 4

Com a primeira vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = x + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int - (1)/(2 (x + 1)) d x = int - (1)/(2 u) d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

int - (1)/(2 u) d u = - (1)/(2) int (1)/(u) d u = - (1)/(2) ln |u| + C

Passo 5

Vamos fazer a mesma coisa com a segunda, vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = x - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (1)/(2 (x - 1)) d t = int (1)/(2 u) d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

int (1)/(2 u) d u = (1)/(2) int (1)/(u) d u = (1)/(2) ln |u| + C

Passo 6

Juntando temos:

int - (1)/(2 (x + 1)) d x + int (1)/(2 (x - 1)) d x = - (1)/(2) ln |u| + (1)/(2) ln |u| + C

Passo 7

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int - (1)/(2 (x + 1)) d x + int (1)/(2 (x - 1)) d x = - (1)/(2) ln |x + 1| + (1)/(2) ln |x - 1| + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida.

Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral.

Passo 8

Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Vamos lá:

int_2^3 (1)/(x^2 - 1) d x = (- (1)/(2) ln |x + 1| + (1)/(2) ln |x - 1|)_2^3 :.

int_2^3 (1)/(x^2 - 1) d x = - (1)/(2) ln |3 + 1| + (1)/(2) ln |3 - 1| - (- (1)/(2) ln |2 + 1| + (1)/(2) ln |2 - 1|) :.

int_2^3 (1)/(x^2 - 1) d x = - (1)/(2) ln |4| + (1)/(2) ln |2| - (- (1)/(2) ln |3| + (1)/(2) ln |1|) :.

int_2^3 (1)/(x^2 - 1) d x = - (1)/(2) ln 4 + (1)/(2) ln 2 + (1)/(2) ln 3 :.

int_2^3 (1)/(x^2 - 1) d x = (1)/(2) (ln 4 + ln 2 + ln 3) :.

int_2^3 (1)/(x^2 - 1) d x = (1)/(2) ln ((3)/(2))

Resposta

int_2^3 (1)/(x^2 - 1) d x = (1)/(2) ln ((3)/(2))

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