Enunciado

Encontre a derivada da função.

f x = 2 x - 3 4 x 2 + x + 1 5

Passo 1

Oieeee, bora resolver esse exercício comigo:

O enunciado pede para encontrarmos a derivada da função f x = 2 x   –   3 4 ⋅ x 2 + x     1 5 . Encontrar a derivada de uma função envolve determinar como a função está mudando instantaneamente em relação à sua variável independente, que neste caso é x .

Para encontrar a derivada da função composta f ( x ) precisamos aplicar a regra do produto da diferenciação, que é uma das regras fundamentais do cálculo diferencial. A regra do produto nos permite encontrar a derivada de uma função composta de duas funções multiplicadas entre si.

A regra do produto afirma que a derivada do produto de duas funções   u x   e   v x é dada pela derivada da primeira função multiplicada pela segunda função, somada à primeira função multiplicada pela derivada da segunda função.

Então, para encontrar a derivada de f x , vamos identificar u x   e   v x , calcular suas derivadas, e em seguida, aplicar a regra do produto. Isso nos permitirá encontrar a derivada de f ( x ) em relação a x ,   f ' ( x ) que nos dará a taxa de variação instantânea da função f ( x ) em relação a x .

Passo 2

A regra do produto diz que:

d d x u v = d u d x v + d v d x u

Já a regra da cadeia é:

d y d u = d y d x ∙ d u d x

A regra da cadeia iremos utilizar pois temos uma função dentro de outra função, e para derivar essas situações precisamos dela.

Vamos começar utilizando a regra do produto:

f ' x = d d x 2 x - 3 4 x 2 + x + 1 5 + 2 x - 3 4 ∙ d d x x 2 + x + 1 5

Agora iremos aplicar a regra da cadeia:

f ' x = 4 2 x - 3 3 ∙ d d x 2 x - 3 x 2 + x + 1 5 + 2 x - 3 4 ∙ 5 x 2 + x + 1 4 ∙ d d x x 2 + x + 1

Passo 3

Agora, as duas expressões com "dx" na frente apareceram devido à Regra da Cadeia (multiplicação pela derivada da função interna).

f ' x = 4 2 x - 3 3 2 x 2 + x + 1 5 + 2 x - 3 4 5 x 2 + x + 1 4 2 x + 1 + 0

f ' x = 8 2 x - 3 3 x 2 + x + 1 5 + 5 2 x - 3 4 x 2 + x + 1 4 2 x + 1

Agora, basta simplificar. Existem dois grupos de fatores, observe que cada grupo tem 2 x - 3 3 x 2 + x + 1 4 , os quais podemos fatorar.

f ' x = 2 x - 3 3 x 2 + x + 1 4 8 x 2 + x + 1 + 5 2 x - 3 2 x + 1

f ' x = 2 x - 3 3 x 2 + x + 1 4 8 x 2 + 8 x + 8 + 5 4 x 2 + 2 x - 6 x - 3

= 2 x - 3 3 x 2 + x + 1 4 8 x 2 + 8 x + 8 + 5 4 x 2 - 4 x - 3

= 2 x - 3 3 x 2 + x + 1 4 8 x 2 + 8 x + 8 + 20 x 2 - 20 x - 15

= 2 x - 3 3 x 2 + x + 1 4 ( 28 x 2 - 12 x - 7 )

Resposta

2 x - 3 3 x 2 + x + 1 4 ( 28 x 2 - 12 x - 7 )

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