Enunciado

Encontre a derivada da função

18. g x = x 2 + 1 3 x 2 + 2 6

Passo 1

Olá, amigo, Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui teremos que utilizar a regra do produto e a regra da cadeia. Mas por quê? A regra do produto a gente utiliza quando temos que derivar um produto de funções. Já a regra da cadeia nós utilizamos quando temos uma função dentro de outra função.

Nessa situação a função dentro da função acontece pois temos x 2 + 1   e   x 2 + 2 elevados a uma potência, e a potência conta como uma função que devemos utilizar a regra da cadeia.

Passo 2

A regra do produto diz o seguinte matematicamente falando:

d u v d x = u d v d x + v d u d x

Eu particularmente gosto de ler isso como: “Mantenho a primeira função, derivo a segunda função, mantenho a segunda função e derivo a primeira”.

Já a regra da cadeia:

d y d x = d y d u d u d x

Basicamente o que ela nos diz é que devemos substituir a função interna por uma variável   d y d x = d y d u d u d x   , depois multiplicamos pela derivada da função mais externa. Meio confuso? Prometo que vai ficar melhor quando estivermos colocando a mão na massa.

Passo 3

Bom... se a gente chamar:

u = x 2 + 1 3

E chamar:

m = x 2 + 1

Podemos derivar m em relação a x:

d m d x = 2 x

E pela regra da cadeia, a derivada de u, em relação a x:

d u d x = d u d m d m d x

Como m = x 2 + 1 , então:

u = m 3

Passo 4

E derivando u em relação a m:

d u d m = 3 m 2

Aí sim podemos achar:

d u d x = d u d m d m d x

d u d x = 3 m 2 2 x

Substituindo o m pelo seu valor original:

d u d x = 3 x 2 + 1 2 2 x

d u d x = 6 x x 2 + 1 2

Vamos guardar esse resultado.

Passo 5

E agora vamos chamar:

v = x 2 + 2 6

E chamar:

n = x 2 + 2

Podemos derivar n   em relação a x   :

d n d x = 2 x

Passo 6

E pela regra da cadeia, a derivada de u   , em relação a x   :

d u d x = d u d m d m d x

Como n = x 2 + 2 , então:

v = n 6

E derivando v   em relação a n   :

d v d n = 6 n 5

Passo 7

Aí sim podemos achar:

d v d x = d v d n d n d x

d v d x = 6 n 5 2 x

Substituindo o n   :

d v d x = 6 x 2 + 2 5 2 x

d v d x = 12 x x 2 + 2 5

Vamos guardar esse resultado também.

Passo 8

Agora vamos usar a regra da cadeia...

Como g = u v , então a derivada de g em relação a x fica:

d g d x = d u v d x

d g d x = u d v d x + v d u d x

d g d x = x 2 + 1 3 12 x x 2 + 2 5 + x 2 + 2 6 6 x x 2 + 1 2

d g d x = 6 x x 2 + 1 2 x 2 + 2 5 2 x 2 + 1 + x 2 + 2

d g d x = 6 x x 2 + 1 2 x 2 + 2 5 2 x 2 + 2 + x 2 + 2

d g d x = 6 x x 2 + 1 2 x 2 + 2 5 3 x 2 + 4

Ufaaaa... Essa deu trabalho, viu?? Mas é só a gente ir fazendo devagar e aos poucos que dá certo, no final. E aí.. Vamos pra próxima???

Resposta

d g d x = 6 x x 2 + 1 2 x 2 + 2 5 3 x 2 + 4

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