Enunciado

Encontre a derivada da função.

f t = 3 t - 1 4 2 t + 1 - 3

Passo 1

Olá, vamos resolver essa questão comigo:

O enunciado pede para encontrarmos a derivada da função f t = 3 t - 1 4 2 t + 1 - 3 . Encontrar a derivada de uma função envolve determinar como a função está mudando instantaneamente em relação à sua variável independente, que neste caso é x .

Para encontrar a derivada da função composta f ( x ) precisamos aplicar a regra do produto da diferenciação, que é uma das regras fundamentais do cálculo diferencial. A regra do produto nos permite encontrar a derivada de uma função composta de duas funções multiplicadas entre si.

A regra do produto afirma que a derivada do produto de duas funções   u x   e   v x é dada pela derivada da primeira função multiplicada pela segunda função, somada à primeira função multiplicada pela derivada da segunda função.

Então, para encontrar a derivada de f x , vamos identificar u x   e   v x , calcular suas derivadas, e em seguida, aplicar a regra do produto. Isso nos permitirá encontrar a derivada de f ( x ) em relação a x ,   f ' ( x ) que nos dará a taxa de variação instantânea da função f ( x ) em relação a x .

Passo 2

Reescrevendo a função:

f t = 3 t - 1 4 2 t + 1 - 3

F t = 3 t - 1 4 2 t + 1 3

Utilizando a regra do quociente:

F ' t = 2 t + 1 3 ∙ d 3 t - 1 4 d t - 3 t - 1 4 ∙ d 2 t + 1 3 d t 2 t + 1 3 2

Agora iremos utilizar a regra da cadeia para derivar 3 t - 1 4   e 2 t + 1 3 pois temos uma função dentro de outra função.

F ' t = 2 t + 1 3 ∙ d 3 t - 1 4 d 3 t - 1 ∙ d 3 t - 1 d t - 3 t - 1 4 ∙ d 2 t + 1 3 d 2 t + 1 ∙ d 2 t + 1 d t 2 t + 1 6

F ' t = 2 t + 1 3 4 3 t - 1 3 3 - 3 t - 1 4 3 2 t + 1 2 2 2 t + 1 6

Passo 3

Agora iremos simplificar a nossa derivada:

F ' t = 2 t + 1 4 3 t - 1 3 3 - 3 t - 1 4 3 ∙ 2 2 t + 1 4  

Colocando o termo 3 t - 1 3 em evidência:

F ' t = 3 t - 1 3 2 t + 1 12 - 3 t - 1 6 2 t + 1 4

F ' t = 3 t - 1 3 24 t + 12 - 18 t + 6 2 t + 1 4

F ' t = 3 t - 1 3 6 t + 18 2 t + 1 4

F ' t = 6 3 t - 1 3 ( t + 3 ) 2 t + 1 4

Resposta

F ' t = 6 3 t - 1 3 ( t + 3 ) 2 t + 1 4

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