Encontre dy/dx:

y = sen(tg(3x))

Passo 1

Muito bem, para derivar nós precisamos observar que existe uma função ( 3 x ) dentro de outra t g que ainda está dentro de mais uma ( s e n ) . E o que fazemos quando isso acontece?

Usamos a Regra da Cadeia! Para começar vamos chamar:

u = 3 x

Então:

v = tg ⁡ u

E por fim:

y = f v = sen ⁡ v

Muito bem, já achamos u ,   v e f ( v ) . Agora precisamos achar d y d x , mas como?

Bem fácil:

d y d x = d f ( v ) d v . d v d u . d u d x

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Passo 2

Vamos começar por d u d x . Então vamos derivar u com relação à x:

d u d x = 3

Agora vamos derivar v em função de u para achar d v d u :

d v d u = sec 2 ⁡ u

E por fim vamos derivar f ( v ) em relação a v :

d f ( v ) d v = cos ⁡ v

Agora vamos colocar na derivada d y d x :

d y d x = cos ⁡ v × ( sec 2 ⁡ u ) × 3

Substituindo u e v:

d y d x = 3 sec 2 ⁡ 3 x . cos ⁡ tg ⁡ u

d y d x = 3 sec 2 ⁡ 3 x . cos ⁡ tg ⁡ 3 x

Bem Tranquilinha, não foi?

Resposta

d y d x = 3 sec 2 ⁡ 3 x . cos ⁡ tg ⁡ 3 x

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