Enunciado

Demonstre a propriedade 3 das integrais.

Passo 1

E aí, tudo certinho?

Nessa questão temos que demonstrar a propriedade 3 das integrais.

A propriedade 3 das integrais nos diz que se tivermos uma constante c e uma função integrável f x , então:

∫ a b c f x   d x = c ∫ a b f x   d x

Para demonstrar essa propriedade, vamos usar a definição de integral como um limite do somatório:

∫ a b f x d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x

Passo 2

Para demonstrar isso, basta, escrevermos a primeira integral como limite do somatório:

∫ a b c f x   d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n c f x i Δ x =

= lim n → ∞ ⁡ ( c f x 1 Δ x + c f x 2 Δ x + c f x 3 Δ x + … + c f x n - 1 Δ x + c f x n Δ x )

Podemos colocar a constante c em evidência:

= lim n → ∞ ⁡ c ( f x 1 Δ x + f x 2 Δ x + f x 3 Δ x + … + f x n - 1 Δ x + f x n Δ x )

Uma vez essa constante está em evidência e ela não depende de n , ela pode sair do limite:

= c lim n → ∞ ⁡ ( f x 1 Δ x + f x 2 Δ x + f x 3 Δ x + … + f x n - 1 Δ x + f x n Δ x )

= c lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x

E como:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x = ∫ a b f x d x

Temos portanto que:

c lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x = c ∫ a b f x d x

Logo, comprovamos que:

∫ a b c f x   d x = c ∫ a b f x   d x

Resposta

Demonstração no Passo 2.

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