Enunciado

Use as propriedades das integrais, junto com os exercícios 27 e 28 , para demonstrar a desigualdade.

∫ 0 π 2 x sen ⁡ x   d x ≤ π 2 8

Passo 1

Fala aí, eu sou o Rafha do Responde Aí e vim te ajudar em mais uma questão!

Aqui nós precisamos usar as propriedades de integrais para provar que:

∫ 0 π 2 x sen ⁡ x   d x ≤ π 2 8

E também vamos usar o que foi feito nos exercícios 27 e 28.

Basicamente nesses exercícios nós provamos que:

∫ 0 π 2 x   d x = 1 2 π 2 π 2

Uma propriedade das integrais nos diz que se temos duas funções, f e g , e que

f x ≤ g x

então temos que:

∫ a b f x   d x ≤ ∫ a b g x   d x

Se tomarmos x s e n ( x ) como f x , e g x = x , podemos trabalhar numa desigualdade.

A função seno é sempre menor ou igual a 1 .

s e n x ≤ 1

Multiplicando ambos os lados por x , temos:

x s e n x ≤ x

Logo,

f x ≤ g ( x )

Passo 2

Então se x sen ⁡ x ≤ x , podemos aplicar a integração:

x sen ⁡ x ≤ x

∫ 0 π 2 x sen ⁡ x   d x ≤ ∫ 0 π 2 x   d x

∫ 0 π 2 x sen ⁡ x   d x ≤ π 2 π 2 1 2

∫ 0 π 2 x sen ⁡ x   d x ≤ π 2 8

E assim, demonstramos que ∫ 0 π 2 x sen ⁡ x   d x ≤ π 2 8 .

Resposta

Demonstração.

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