Se F(x) = f(3f(4f(x))) , onde f(0) = 0 e f'(0) = 2 , encontre F'(0) .

Passo 1

O enunciado forneceu uma função F que é uma composta tripla da função f e, além disso, forneceu informações sobre f e sua derivada em x = 0 . Devemos calacular a derivada de F nesse ponto e, para isso, primeiro achamos sua derivada em termos da derivada de f e depois substituímos x = 0 .

Passo 2

Vamos achar primeiro F ' ( x ) . Derivando F pela regra da cadeia:

F ' x = f ' 3 f 4 f x ⋅ 3   f ' 4 f x ⋅ 4 f ' ( x )

Passo 3

Substituindo x = 0 , temos que

F ' 0 = f ' 3 f 4 f 0 ⋅ 3   f ' 4 f 0 ⋅ 4 f ' ( 0 )

Já temos que f ' 0 = 2 . Veja que f ' 4 f 0 = f ' 4 ⋅ 0 = f ' 0 = 2 . O mesmo ocorre com f ' 3 f 4 f 0 = f ' 3 f 4 ⋅ 0 = f ' 3 f 0 = f ' 3 ⋅ 0 = f ' 0 = 2 . Assim,

F ' 0 = 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 2 = 96

Resposta

F ' 0 = 96

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