Enunciado

  1. Use uma calculadora para tabular até quatro casas decimais os valores de   c o s x - c o s ⁡ 1 6 π x - 1 6 π quando x é 3 20 π , 19 120 π , 33 200 π , 199 1200 π , 333 2000 π e x é 11 60 π , 7 40 π , 101 600 π , 67 400 π , 1001 6000 π . A que quociente parece tender quando x se aproxima de π 6 ?
  2. Ache lim x → π 6 ⁡   c o s x - c o s ⁡ 1 6 π x - 1 6 π , interpretando-o como uma derivada.

Passo 1

Bom, a letra a) nos pede para substituir cada valor dado de x na função (chamaremos a função de f(x) para facilitar) do enunciado:   c o s x - c o s ⁡ 1 6 π x - 1 6 π , com um resultado de até quatro casas decimais, e então montar uma tabela com esses valores.

Passo 2

Agora vamos substituir o primeiro valor dado x = 3 20 π na f(x):

  c o s 3 20 π - c o s ⁡ 1 6 π 3 20 π - 1 6 π

Resolvendo primeiro as funções cosseno, lembrando que o arredondamento deve ser feito apenas no final, porque se ficarmos arredondando cada conta que fizermos na calculadora, o resultado pode acabar ficando com precisão diferente (principalmente se o número de casas decimais pedido no exercício for grande):

  0,891006524 - 0,866025403 3 20 π - 1 6 π

Calculando o denominador para a forma decimal:

  0,891006524 - 0,866025403 0,471238898 - 0,523598775

Resolvendo as subtrações e a divisão:

-0,477104272

Passo 3

Com o nosso resultado, devemos então fazer o arredondamento para quatro casas decimais:

-0,4771

Passo 4

Agora, para cada valor de x dado no enunciado, podemos repetir os passos e escrever os resultados em uma tabela:

Os cinco primeiros valores de x se aproximam de π 6 e fazem a função f se aproximar de -0,5 por valores menores, e os cinco últimos, se aproximam de -0,5 por valores maiores.

Passo 5

Na letra b) o exercício pede para a gente calcular o limite da função quando x tende para π 6 , e interpretar como uma derivada, essa interpretação seria o mesmo que comparar esse limite com a definição da derivada de uma função:

lim ∆ x → 0 ⁡ f x +   ∆ x - f ( x ) ∆ x

Repare que ela se assemelha muito com o limite que foi colocado no enunciado da letra b):

lim x → π 6 ⁡   c o s x - c o s ⁡ 1 6 π x - 1 6 π

Agora interpretando como uma derivada seria o mesmo que derivar a função cosseno e então aplicar o valor para o qual x tende:

d ( c o s x ) d x = - s e n x

Para x = π 6 :

- s e n π 6 =   - 1 2

Resposta

  1. - 1 2
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