Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int x^2 (x^3 + 5)^2 d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x^3 e um x^2 , podemos então usar a mudança de variável:

u = x^3 + 5

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 3 x^2 + 0 d x = 3 x^2 d x -> x^2 d x = (d u)/(3)

Vamos agora fazer a substuição:

int x^2 (x^3 + 5)^2 d x = int (u^2)/(3) d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int (u^2)/(3) d u = (1)/(3) int u^2 d u = (1)/(3) * ((u^(2 + 1))/(2 + 1)) = (1)/(3) * (u^3)/(3) = (u^3)/(9) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = x^3 + 5 :

int x^2 (x^3 + 5)^2 d x = int (u^2)/(3) d u = (u^3)/(9) + C = ((x^3 + 5)^3)/(9) + C

Resposta

int x^2 (x^3 + 5)^2 d x = ((x^3 + 5)^3)/(9) + C

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Faça a substituição u indicada e, então, use a Tabela de Integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, prove que o resultado é equiva
Faça a substituição u indicada e, então, use a Tabela de Integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, prove que o resultado é equiva
Faça a substituição u indicada e, então, use a Tabela de Integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, prove que o resultado é equiva
Faça a substituição u indicada e, então, use a Tabela de Integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, prove que o resultado é equiva
Faça uma substituição u apropriada e, então, use a tabela de integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS; use-o para calcular a integral (sem usar substituições) e, então, c