Enunciado

Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ .

D é uma região triangular com vértices (0,0), (2,1), (0,3); ρ x , y = x .

Passo 1

Vamos utilizar para esse exercício as relações dadas no capítulo para o cálculo de centro de massa e da massa, que são

m = ∫ ∫ D ρ x , y ⋅ d A

x - = M x m = 1 m ⋅ ∫ ∫ D x ⋅ ρ x , y ⋅ d A

y - = M y m = 1 m ⋅ ∫ ∫ D y ⋅ ρ x , y ⋅ d A

Passo 2

Vamos começar calculando a massa da nossa lâmina. Temos que mantendo y fixo e variando x , encontraremos os seguintes intervalos

0 ≤ y ≤ 1

y ≤ x ≤ 4 - 3 ⋅ y

Que são os lados esquerdo e direito, respectivamente, delimitando x . Usando agora nossa integral dupla, temos que

= ∫ ∫ D ρ x , y ⋅ d A = ∫ 0 1 ∫ y 4 - 3 ⋅ y x ⋅ d x ⋅ d y = 1 2 ⋅ ∫ 0 1 x 2 y 4 - 3 ⋅ y ⋅ d y =

= 1 2 ⋅ ∫ 0 1 [ 4 - 3 ⋅ y 2 - y 2 ] ⋅ d y = 1 2 ⋅ [ ∫ 0 1 16 ⋅ d y + ∫ 0 1 9 ⋅ y 2 ⋅ d y - ∫ 0 1 24 ⋅ y ⋅ d y - ∫ 0 1 y 2 ⋅ d y ] =

= 1 2 ⋅ 16 ⋅ y 0 1 + 9 3 ⋅ y 3 0 1 - 24 2 ⋅ y 2 0 1 - 1 3 ⋅ y 3 0 1 =

= 1 2 ⋅ 7 - 1 3 = 10 3  

Passo 3

Agora vamos calcular a posição do x do centro de massa. Usando a equação dada, temos que

x - = 1 m ⋅ ∫ 0 1 ∫ y 4 - 3 ⋅ y x ⋅ x ⋅ d x ⋅ d y = 1 m ⋅ 1 3 ⋅ ∫ 0 1 x 3 y 4 - 3 ⋅ y ⋅ d y =

= 1 3 ⋅ m ⋅ - 27 ∫ 0 1 y 3 ⋅ d y + 108 ⋅ ∫ 0 1 y 2 ⋅ d y - 144 ⋅ ∫ 0 1 y ⋅ d y + 64 ⋅ ∫ 0 1 d y =

= 1 3 ⋅ m ⋅ - 27 4 ⋅ y 4 0 1 + 108 3 ⋅ y 3 0 1 - 144 2 ⋅ y 2 0 1 + 64 ⋅ y 0 1 =

= 1 3 ⋅ 10 3 ⋅ 27 4 + 108 3 - 72 + 64 = 1 10 ⋅ 27 4 + 108 3 - 8 =

= 1 10 ⋅ 417 12 = 417 120 = 139 40

Passo 4

Para o centro de massa de y , teremos o mesmo processo

y - = 1 m ⋅ ∫ 0 1 ∫ y 4 - 3 ⋅ y y ⋅ x ⋅ d x ⋅ d y = 1 2 ⋅ m ⋅ ∫ 0 1 y ⋅ x 2 y 4 - 3 ⋅ y ⋅ d y =

1 2 ⋅ m ⋅ y ⋅ ∫ 0 1 16 ⋅ d y + ∫ 0 1 9 ⋅ y 2 ⋅ d y - ∫ 0 1 24 ⋅ y ⋅ d y - ∫ 0 1 y 2 ⋅ d y =

= 1 2 ⋅ m ⋅ ∫ 0 1 16 ⋅ y ⋅ d y + ∫ 0 1 9 ⋅ y 3 ⋅ d y - ∫ 0 1 24 ⋅ y 2 ⋅ d y - ∫ 0 1 y 3 ⋅ d y =

= 1 2 ⋅ 10 3 ⋅ 16 2 ⋅ y 2 0 1 + 9 4 ⋅ y 4 0 1 - 24 3 ⋅ y 3 0 1 - 1 4 ⋅ y 4 0 1 =

= 3 20 ⋅ 8 + 2 - 24 3 = 3 20 ⋅ 30 3 - 24 3 = 3 20 ⋅ 6 3 = 6 20 = 3 10

Resposta

m = 10 3

x - = 139 40

y - = 3 10

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