Enunciado

Uma janela normanda tem a forma de um retângulo tendo em cima um semicírculo. (O diâmetro do semicírculo é igual à largura do retângulo). Se o perímetro da janela for 30   p é s , encontre as dimensões da janela que deixam passar a maior quantidade possível de luz.

Passo 1

E aí! como vai?

Nesse problema temos uma janela que é formada por um retângulo e um semicírculo cujo diâmetro é igual à largura do retângulo.

A partir daí queremos descobrir qual é a maior area possivel para essa janela para um perímetro total de 30   p é s .

Tem ideia de como fazemos isso?

Aqui temos um problema de otimização e temos que otimizar a área de um objeto (no caso a janela) a partir do seu perímetro que é fixo.

Para resolver esse tipo de problema, temos que desenvolver a equação que é fixa (no caso o perímetro) e substituir na equação que queremos otimizar (no caso a area da janela).

Com as informações do enunciado a gente faz a seguinte figura:

Para otimizar a função area dessa janela vamos usar a ideia de máximos e mínimos... ou seja, vamos derivar a area em função de alguma variável e igualar a 0 .

A partir daí, vamos substituir na equação da area e analisar os resultados.

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Vamos começar determinando a equação do perímetro dessa janela.

Com base no esboço do passo 1 podemos determinar que

P = 2 y + x + π x 2

Onde π x 2 é a metade da circunferência de raio x / 2 .

Foi dito que o perímetro é fixo em P = 30   P é s .

2 y + x + π x 2 = 30

Agora vamos determinar a equação da área da janela.

A = A r e t a n g u l o + A s e m i - c i r c u l o

A = x y + 1 2 π x 2 2

A = x y + x 2 π 8

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Para maximizar a função área temos que deixá-la em função de uma única variavel...

Então aqui entra a jogada de mestre... vamos isolar uma dessas variáveis na equação do perímetro e substituir em A . assim vamos ficar com uma função de uma única variavel.

2 y + x + π x 2 = 30 → y = 15 - x 2 + π 4

Substituindo em A

A = x 15 - x 2 + π 4 + x 2 π 8

A = 15 x - x 2 2 + π 4 + x 2 π 8

A = 15 x - x 2 1 2 + π 8

Agora que temos A em função de uma única variavel vamos derivá-la e igualar a 0 .

A ' = 15 - x 1 + π 4 = 0

x 1 + π 4 = 15

x = 15 1 + π 4

Então o valor de x que maximiza a função A é x = 15 1 + π 4 ≈ 8,4   P é s .

Substituindo na equação do perímetro podemos determinar tambem o valor de y

y = 15 - 15 1 + π 4 2 + π 4

y ≈ 4,2   P é s

Então as dimensões da janela é 8,4   P é s de largura e 4,2 + 8,4 2 = 8,4   P é s de altura.

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

8,4   P é s de largura e 8,4   P é s de altura.

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