Enunciado

Uma janela normanda tem a forma de um retângulo tendo em cima um semicírculo. (O diâmetro do semicírculo é igual à largura do retângulo). Se o perímetro da janela for 30   p é s , encontre as dimensões da janela que deixam passar a maior quantidade possível de luz.

Passo 1

Com as informações do enunciado a gente faz a seguinte figura:

Passo 2

O exercício pede as dimensões da janela que permitem a maior ÁREA de luz possível, então é essa fórmula que a gente vai maximizar:

A = x y + 1 2 π x 2 2 = x y + x 2 π 8

A outra informação que a gente tem é o perímetro de 30   p é s , como 1   p é = 0,3048   m → 30   p é s = 9,144   m , aí dá pra anotar mais uma fórmula:

P = x + 2 y + 2 π x 2 2 = x + 2 y + π x 2 = 9,144

Com essa fórmula do perímetro a gente consegue isolar uma das variáveis, pra depois maximizar a área e finalmente encontrar as dimensões!!

x + 2 y + π x 2 = 9,144

2 y = 9,144 - x - π x 2

y = 4,572 - x 2 - π x 4

Substituindo y   em A :

A = x y + x 2 π 8

A = 4,572 x - x 2 2 - x 2 π 8

Passo 3

Maximizando A :

A ' x = 0 = 4,572 - x - 1 4 π x

A ' x = 0 = 4,572 - x ( 1 + 1 4 π )

x = 4,572 1 + π 4

x = 18,288 4 + π

Substituindo em y :

y = 4,572 - x 2 - π x 4

y = 4,572 - 18,288 2 4 + π - π   ( 18,288 4 4 + π )

y = 4,572 - 9,144 4 + π - 4,572 π 4 + π

y = 9,144 4 + π

Como podemos constatar, a altura do retângulo é metade de sua largura.

Resposta

Dimensões máximas: x = 18,288 4 + π e y = 9,144 4 + π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre as dimensões de um retângulo com área de 1000m 2 cujo perímetro seja o menor possível.
Um pedaço de fio com 10m de comprimento é cortado em duas partes. Uma parte é dobrada no formato de um quadrado, ao passo que a outra é dobrada na forma de um triângulo equilátero. Como deve ser corta
Uma lata cilíndrica sem o topo é feita para receber Vc m ³ ³ de líquido. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para fazer a lata.
Um fazendeiro quer cercar uma área de 15000m 2 em um campo retangular e então dividí-lo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados do retângulo. Como fazer isso de forma a minimizar o custo da cerc