Enunciado

Uma janela normanda tem o formato de um retângulo em cima do qual se coloca um semicírculo. Se o perímetro da janela for de 10 m, expresse a área A da janela como uma função de sua largura x .

Passo 1

Eaee, belezinha??

Bom... a questão quer que encontremos uma expressão da área A de uma janela em função de sua largura x .

Como dado, a questão nos diz que a janela tem o formato de um retângulo em cima do qual se coloca um semicírculo.

Além disso, o perímetro da janela é de 10 m.

Para resolvermos isso, temos que arranjar uma forma de relacionarmos o perímetro com a área da janela, de forma que a variável independe.

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Note que, se a largura da janela é x , significa que o diâmetro do semicírculo também é x .

Opa, então, temos que o raio dele é x 2 .

Chamando de y o comprimento da parte retangular da janela e sabendo que o comprimento de metade de uma circunferência é π r (onde r é o raio dela), temos que o perímetro dela será:

P = x + y + y + π x 2 = 10

2 y = 10 - x - π x 2 ∴

y = 5 - x 2 - π x 4

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

A área da janela, será a soma das áreas das partes representadas pelo semicírculo e pelo retângulo.

Como a área do semicírculo é π r ² 2 , temos que:

A = A s e m i c í r c u l o + A r e t â n g u l o ∴

A = π x 2 2 2 + x y

Substituindo y , temos:

A ( x ) = π x 2 8 + x 5 - x 2 - π x 4

Entendeu direitinho?? Responde Aí 😉

Resposta

A ( x ) = π x 2 8 + x 5 - x 2 - π x 4

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