Enunciado

Uma lâmina com densidade constante ρ x ,   y = ρ ocupa a região dada. Encontre os momentos de inércia I x e I y e os raios de giração x - - e y - - .

A parte do disco x 2 + y 2 ≤ a 2 no primeiro quadrante

Passo 1

Galera, pra encontrar os momentos de inércia, vamos montar suas respectivas integrais, e então usar um sistema de computação algébrica pra calcular pra gente essas integrais, beleza?

I x = ∬ D   y 2   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 a ρ r 3   s e n 2 θ   d r   d θ = ρ π a 4 16

I y = ∬ D   x 2   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 a ρ r 3 cos 2 ⁡ θ   d r   d θ = ρ π a 4 16

Passo 2

Pra encontrar os raios de giração, precisamos saber a massa da lâmina:

m = ρ   .   Á r e a   d a   l â m i n a = ρ π a 2 4

Agora sim podemos determinar os raios de giração:

x - - = I y m = ρ π a 4 16 ρ π a 2 4 = a 2 4 = a 2

y - - = I x m = ρ π a 4 16 ρ π a 2 4 = a 2 4 = a 2

Resposta

I x = ρ π a 4 16

I y = ρ π a 4 16

x - - = a 2

y - - = a 2

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