Enunciado

Uma lâmina com densidade constante ρ x ,   y = ρ ocupa a região dada. Encontre os momentos de inércia I x e I y e os raios de giração x - - e y - - .

O triângulo com vértices 0 ,   0 ,   b ,   0 ,   ( 0 ,   h )

Passo 1

Galera, pra encontrar os momentos de inércia, vamos montar suas respectivas integrais, e então usar um sistema de computação algébrica pra calcular pra gente essas integrais, beleza?

I x = ∬ D   y 2   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 b ∫ 0 h - h x b ρ y 2   d y   d x = ρ b h 3 12

I y = ∬ D   x 2   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 b ∫ 0 h - h x b ρ x 2   d y   d x = ρ b 3 h 12

Passo 2

Pra encontrar os raios de giração, precisamos saber a massa da lâmina:

m = ρ   .   Á r e a   d a   l â m i n a = ρ b h 2

Agora sim podemos determinar os raios de giração:

x - - = I y m = ρ b 3 h 12 ρ b h 2 = b 2 6 = b 6

y - - = I x m = ρ b h 3 12 ρ b h 2 = h 2 6 = h 6

Resposta

I x = ρ b h 3 12

I y = ρ b 3 h 12

x - - = b 6

y - - = h 6

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Considere uma pá quadrada de um ventilador com lados de comprimento 2 e com o canto inferior esquerdo colocado na origem. Se a densidade da pá for ρ x ,y = 1 + 0,1 x , é mais difícil girar a pá em tor
Uma lâmina com densidade constante ρ x ,y = ρ ocupa a região dada. Encontre os momentos de inércia I x e I y e os raios de giração x - - e y - - .A parte do disco x 2 + y 2 ≤ a 2 no primeiro quadrante
Utilize um sistema de computação algébrica para determinar a massa, o centro de massa e os momentos de inércia da lâmina que ocupa a região D e tem a densidade dada. D é limitada pelo cardioide r = 1
Utilize um sistema de computação algébrica para determinar a massa, o centro de massa e os momentos de inércia da lâmina que ocupa a região D e tem a densidade dada. D = x ,y 0 ≤ y ≤ s e nx,0 ≤ x ≤ π