Enunciado

Considere uma pá quadrada de um ventilador com lados de comprimento 2 e com o canto inferior esquerdo colocado na origem. Se a densidade da pá for ρ x ,   y = 1 + 0,1 x , é mais difícil girar a pá em torno do eixo x ou do eixo y ?

Passo 1

Pessoal, pra gente saber em torno de qual eixo é mais difícil girar a pá, temos que calcular os momentos de inércia em relação a cada eixo. Vamos começar com I x :

I x = ∬ D   y 2   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 2 ∫ 0 2 y 2 ( 1 + 0,1 x )   d y   d x = ∫ 0 2 1 + 0,1 x y 3 3 0 2   d x = ∫ 0 2 8 3 1 + 0,1 x   d x = 8 3 x + 0,1 x 2 2 0 2 = 8 3 2,2 ≈ 5,87

Passo 2

Analogamente, vamos ao cálculo do momento de inércia I y em relação ao eixo y :

I y = ∬ D   x 2   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 2 ∫ 0 2 x 2 1 + 0,1 x   d y   d x = ∫ 0 2 x 2 + 0,1 x 3 y 0 2   d x = ∫ 0 2 2 x 2 + 0 , 2 x 3   d x = 2 x 3 3 + 0 , 2 x 4 4 0 2 = 16 3 + 0,8 ≈ 6,13

Como obtemos I y > I x , então é mais difícil girar a pá em torno do eixo y .

Resposta

É mais difícil girar a pá em torno do eixo y .

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Uma lâmina com densidade constante ρ x ,y = ρ ocupa a região dada. Encontre os momentos de inércia I x e I y e os raios de giração x - - e y - - .A parte do disco x 2 + y 2 ≤ a 2 no primeiro quadrante
Utilize um sistema de computação algébrica para determinar a massa, o centro de massa e os momentos de inércia da lâmina que ocupa a região D e tem a densidade dada. D é limitada pelo cardioide r = 1
Utilize um sistema de computação algébrica para determinar a massa, o centro de massa e os momentos de inércia da lâmina que ocupa a região D e tem a densidade dada. D = x ,y 0 ≤ y ≤ s e nx,0 ≤ x ≤ π
Uma lâmina com densidade constante ρ x ,y = ρ ocupa a região dada. Encontre os momentos de inércia I x e I y e os raios de giração x - - e y - - .O triângulo com vértices 0 ,0 ,b ,0 ,( 0 ,h )
Determine os momentos de inércia I x , I y , I 0 para a lâmina do Exercício 7 .