Enunciado

Uma lata fechada com um volume de 27  c m 3 deve ter a forma de um cilindro circular reto. Se a tampa e a base, ambas circulares, forem cortadas de pedaços quadrados de lata, ache o raio e a altura da lata, de forma que seja usado o mínimo de material em sua fabricação. Inclua o material desperdiçado na tampa e na base.

Passo 1

Vamos começar lembrando que o volume de um cilindro com raio da base r e altura h tem volume V = π r 2 h . A questão disse que a lata terá volume 27 , então podemos escrever:

π r 2 h = 27       →           h = 27 π r 2

Precisaremos de dois quadrados de lado 2 r para formar a tampa e a base. A área desses 2 quadrados será um total de 8 r 2 e a área lateral da lata será 2 π r h . A área total da lata será:

A = 8 r 2 + 2 π r h

Mas sabemos quem é h . Então,

A = 8 r 2 + 2 π r 27 π r 2 = 8 r 2 + 54 r

A r = 8 r 2 + 54 r - 1

Temos a área total da lata em função do raio.

Passo 2

Agora basta derivar, igualar a 0 e verificar quando essa área é mínima.

A ' r = 16 r - 54 r - 2 = 16 r - 54 r 2

A ' r = 16 r 3 - 54 r 2 = 16 r 3 - 27 8 r 2 = 0       →           r 3 - 27 8 = 0     →         r = 3 2

Agora perceba que se r > 3 2 , então A ' r > 0 e se 0 < r < 3 2 , A ' r < 0 . Isso indica que a menor área ocorre quando r = 3 2   cm .

A altura será h = 27 π r 2 = h = 27 π 3 2 2 = 27 9 π 4 = 4 ⋅ 27 9 π = 12 π   cm .

Portanto, o raio será 3 2 e a altura 12 π se for usada a menor quantidade de material para construir a lata. O material desperdiçado esta incluído.

Resposta

r = 3 2                 h = 12 π

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