Enunciado

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44. Rigidez de uma viga. A rigidez S de uma viga retangular é proporcional à sua largura multiplicada pelo cubo de sua profundidade.

a. Determine as dimensões que produzem a viga mais rígida que poderá ser cortada a partir de um tronco de 12 pol. de diâmetro.

b. Esboce o gráfico de S em função da largura w da viga, considerando que a constante de proporcionalidade seja k = 1 . Concilie o que observou neste item com a sua resposta no item (a).

c. Na mesma tela, esboce o gráfico de   S em função da profundidade d do sarrafo, mantendo k = 1 . Compare um gráfico com o outro e com a sua resposta do item (a). Qual seria o efeito de mudar para algum outro valor de k ? Experimente.

Passo 1

a) Segundo o enunciado, a rigidez S de uma viga é proporcional à sua largura multiplicada pelo cubo de sua profundidade. Se escrevermos uma expressão para isso, teremos:

S = k . w . d ³

Mas quem é esse k ? Como o enunciado fala sobre proporcionalidade, então k é a constante de proporcionalidade da equação, ok? Mas quem é w ? Se utilizarmos o teorema de Pitágoras, teremos:

w 2 = 144 - d ²

∴ w = 144 - d 2

Substituindo na equação da rigidez, teremos:

S ( d ) = k d 3 . 144 - d 2

Passo 2

Agora que temos uma expressão para a rigidez, como fazemos para descobrir o valor máximo da mesma? Basta utilizarmos o conceito de máximo e mínimo, galera! Derivando a função em questão e igualando a zero, teremos:

S ' d = u ' . v + u . v ' = 0

Sim, devemos utilizar a regra do produto, no qual:

u = d 3 ⇒ u ' = 3 d ²

v = 144 - d 2 ⇒ v ' = 1 2 . 144 - d 2 - 1 2 . - 2 d = - d 144 - d ²

Substituindo na regra do produto, teremos:

S ' d = k . 3 d 2 . 144 - d 2 - d 3 . d 144 - d 2

∴ S ' d = k 3 d 2 144 - d 2 - d 4 144 - d 2 = k 432 d 2 - k 4 d 4 144 - d ² = 4 k d ² ( 108 - d 2 ) 144 - d ²

Igualando a zero, temos:

4 k d ² ( 108 - d 2 ) 144 - d ² = 0

4 k d ² 108 - d 2 = 0

Sendo assim, o ponto crítico que nos interessa será 6 3 . Para esse valor de d , w valerá:

w = 144 - 6 3 2

w = 6

Dessa forma, as dimensões que produzem a viga mais rígida são:

d = 6 3   p o l

w = 6   p o l

Passo 3

b) Se plotarmos o gráfico de S w = w 144 - w 2 3 2 , teremos:

Passo 4

c) Se plotarmos o gráfico de S d = d 3 . 144 - d 2 , teremos:

Já respondendo à letra b) também, temos que os dois gráficos indicam o mesmo valor máximo para a rigidez da viga, o que faz sentido. Ademais, alterar k não surte efeito algum!

Resposta

a) d = 6 3   p o l

w = 6   p o l

b)

c)

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