Enunciado

43. Resistência de uma viga. A resistência S de uma viga retangular de madeira é proporcional à sua largura multiplicada pelo quadrado da sua profundidade. (Veja a figura a seguir.)

a. Determine as dimensões da viga mais resistente que pode ser cortada a partir de um tronco de 12 pol. de diâmetro.

b. Esboce o gráfico de S em função da largura w da viga, considerando a constante de proporcionalidade k = 1 . Concilie o que você observar neste item com sua resposta do item (a).

c. Na mesma tela, esboce o gráfico de S em função da profundidade d da viga, mantendo   k = 1 . Compare um gráfico com o outro e também com a resposta do item (a). Qual seria o efeito de mudar para algum outro valor de k ? Tente descobrir.

Passo 1

a) Segundo o enunciado, a resistência S de uma viga é proporcional à sua largura multiplicada pelo quadrado da sua profundidade. Se escrevermos uma expressão para isso, teremos:

S = k . w . d ²

Mas quem é esse k ? Como o enunciado fala sobre proporcionalidade, então k é a constante de proporcionalidade da equação, ok? Mas quem é d ² ? Se utilizarmos o teorema de Pitágoras na figura que nos foi dada, teremos:

2 r 2 = d 2 + w ²

Note que a hipotenusa do triângulo é o diâmetro da circunferência, que é duas vezes o raio, ok? Isolando d ² , teremos:

d 2 = 4 r 2 - w ²

Substituindo na expressão da resistência S , teremos:

S = k . w . ( 4 r 2 - w 2 )

Como r = 6 ' ' , segundo a própria figura, então temos:

S = k . w . 4.6 2 - w 2

∴ S w = 144 k w - k w ³

Passo 2

Agora que temos uma expressão para a resistência, como fazemos para descobrir o valor máximo da mesma? Basta utilizarmos o conceito de máximo e mínimo, galera! Derivando a função em questão e igualando a zero, teremos:

S ' w = 144 k - 3 k w 2 = 0

48 = w 2

∴ w = ± 4 3

Esses pontos descobertos são os pontos críticos da função, que podem ou não ser máximos ou mínimos locais. Utilizando a segunda derivada, teremos:

S ' ' w = - 6 k w

Para os pontos que encontramos, teremos:

S ' ' 4 3 = - 24 3 k

Como S ' ' < 0 , então isso implica que há um máximo global no gráfico da função S , sendo assim, podemos concluir que S ( 4 3 ) apresenta valor máximo de resistência para a viga.

Aplicando o ponto para descobrirmos a profundidade da viga, teremos:

d 2 = 4 . 6 2 - ( 4 3 ) ²

∴ d = 4 6

Sendo assim, temos que:

w = 4 2   p o l

d = 4 6   p o l

Passo 3

b) Se plotarmos o gráfico de S w = 144 w - w ³ , teremos:

Passo 4

c) Se plotarmos o gráfico de S d = d ² 144 - d ² , teremos:

Em resposta à letra b) também, pelos gráficos podemos notar que, de fato, o valor que encontramos na letra a) é totalmente consistente com essas representações. Ambos os gráficos apresentam o mesmo valor máximo, que é o que esperávamos! Ademais, alterar k não altera as dimensões da viga.

Resposta

a) w = 4 2   p o l

d = 4 6   p o l

b)

c)

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