Enunciado

A lei do resfriamento de Newton diz que a temperatura de um objeto varia a uma taxa proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a de seu meio ambiente (na maioria dos casos, a temperatura do ar ambiente). Suponha que a temperatura ambiente é de 70 º F (cerca de 20 º C ) e que a taxa constante é 0,05   m i n - 1 . Escreva uma equação diferencial para a temperatura do objeto em qualquer instante de tempo. Note que a equação diferencial é a mesma, independente se a temperatura do objeto está acima ou abaixo da temperatura ambiente.

Passo 1

Para resolvermos esse problema vamos analisar as informações dadas no enunciado e tentar descrever uma equação que satisfaça todos os requisitos do problema. Além disso, para esse caso especifico, vamos precisar nos atentar sobre a questão de perda e ganho de temperatura e o sinal que acompanha cada. Vamos juntos!!

Passo 2

Bom, o enunciado nos diz que a taxa de variação da temperatura é proporcional a diferença de temperatura do ambiente. Na linguagem matemática, isso pode ser escrito como:

d T d t ∝ T - T 0

ou

d T d t = k ⋅ T - T 0

Onde k é uma constante de proporcionalidade, t é o tempo em minutos e T 0 é a temperatura ambiente. O enunciado nos dá todas as informações a mais que precisamos ter, onde k = 0,05 em minutos e T o = 20 º C , ficando com a equação da forma

d T d t = 0,05 ⋅ T - 20

Porém, temos que nos atentar a convenção para a temperatura, onde quando se “perde” temperatura, o sinal da taxa de transferência é negativo, e quando se “ganha” temperatura o sinal é positivo. Assim, para T > T 0 , d T d t < 0 e T < T 0 , d T d t > 0 . Fazendo esse ajuste, temos que

d T d t = - 0,05 ⋅ T - 20

Resposta

d T d t = - 0,05 ⋅ T - 20

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