Enunciado

Para objetos pequenos, caindo devagar, a hipótese feita no texto sobre a resistência do ar ser proporcional à velocidade é boa. Para objetos maiores, caindo mais rapidamente, uma hipótese mais precisa é de que a resistência do ar é proporcional ao quadrado da velocidade.

  1. Escreva uma equação diferencial para a velocidade de um objeto de massa m em queda, supondo que a magnitude da força de resistência do ar é proporcional ao quadrado da velocidade e que o sentido dessa força é o oposto ao da velocidade.
  2. Determine a velocidade limite após um longo período de tempo.
  3. Se m = 10   k g , encontre o coeficiente de resistência do ar de modo que a velocidade limite seja 49   m / s .
  4. Usando os dados em (c), desenhe um campo de direções e compare-o com a Figura 1.1.3.

Passo 1

Para resolvermos esse problema vamos analisar as informações dadas no enunciado e tentar descrever uma equação que satisfaça todos os requisitos do problema. Além disso, para esse caso especifico, vamos apenas ajustar a equação para pequenos objetos em uma baixa velocidade. Vamos juntos!!

Passo 2

  1. Bom, o enunciado nos diz sobre um objeto com uma massa m e uma velocidade v relativamente alta. Dessa forma, temos que a resistência do ar não pode mais ser considerada apenas proporcional a velocidade e sim ao quadrado da velocidade. Temos que em uma queda livre, a equação que dita sua velocidade é
  2. m ⋅ d v d t = m ⋅ g

    Porém, como não estamos em uma queda livre, teremos uma força a mais de resistência que que será dada por:

    m ⋅ d v d t = m ⋅ g - γ ⋅ v 2

    Onde γ é uma constante de proporcionalidade.

    Passo 3

  3. Como temos uma força que limita a velocidade máxima que pode ser atingida, teremos que após um longo tempo a variação da velocidade será 0. Ou seja:
  4. d v d t = 0

    Assim, temos que a velocidade terminal será dada por

    m ⋅ g = γ ⋅ v 2

    v t e r m = m ⋅ g γ

    Passo 4

  5. Como estamos na velocidade limite, temos que d v d t = 0 . Queremos que a velocidade máxima seja de 49   m / s . Assim, temos que nossa equação fica
  6. γ = m ⋅ g v 2 = 10   k g ⋅ 9,8   m / s 49   m / s 2 = 0,041 k g m / s

    Passo 5

Como esperávamos, essa suposição faz com que para objetos grandes e em alta velocidade, para uma mesma massa, se atinja aproximadamente a mesma velocidade terminal.

Resposta

  1. m ⋅ d v d t = m ⋅ g - γ ⋅ v 2
  2. v t e r m = m ⋅ g γ
  3. γ = 0,041 k g m / s
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