Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 8, resolva a equação diferencial dada.

x y ' = ( 1 - y 2 ) 1 / 2

Passo 1

A EDO acima, é do tipo que pode separar para calculcar a solução. A resolução dela é bem parecida com o que fizemos anteriormente em EDO de primeira ordem, só que agora antes de calcular a EDO precisamos de algumas manobras matemáticas.

Vamos considerar o seguinte:

Sabemos que y ' =   d y d x , vamos substituir na equação

x   d y d x = ( 1 - y 2 ) 1 / 2

Passo 2

Agora, vamos deixar tudo que tem y de um lado e tudo que tem x do outro lado.

Assim, temos:

d x x =   d y ( 1 - y 2 ) 1 / 2

Agora para termos uma equação dependendo de y e de x, basta integrar dos dois lados.

Passo 3

Integrando dos dois lados, temos:

∫ d x x =   ∫ d y ( 1 - y 2 ) 1 / 2

ln ⁡ x + c = a r c s e n   y + c '

ln ⁡ x - a r c s e n   y = C

ln ⁡ x + C = a r c s e n   y

y = s e n   ( ln ⁡ x + C )

Condição de existência da EDO é que x ≠ 0   e   y ≤   1 .

Resposta

y = s e n   ( ln ⁡ x + C ) ; x ≠ 0   e   y ≤   1 .

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