Enunciado

Lembre que c o s b t = e i b t + e - i b t 2 e que s e n b t = e i b t - e - i b t 2 i . Em cada um dos problemas de 11 a 14, encontre a transformada de Laplace da função dada; a e b são constantes reais. Suponha que as fórmulas de integração elementares podem ser estendidas para esse caso.

14. f t = e a t c o s b t

Passo 1

Vamos usar a dica do enunciado e escrever o cosseno como:

c o s b t = e i b t + e - i b t 2

Na transformada da função, isso fica assim:

L e a t c o s b t = L e a t e i b t + e - i b t 2

Vamos colocar a exponencial para dentro, fazendo o produto dela com as outras:

L e a t c o s b t = L e a + i b t + e a - i b t 2

Pegando um dos resultados na tabela de transformadas:

∫ 0 ∞ e - s t e a + i b t d t = 1 s - a - i b

E para o caso do sinal negativo:

∫ 0 ∞ e - s t e a - i b t d t = 1 s - a + i b

Como no nosso caso é uma soma de exponenciais, não podemos aplicar direto esses resultados, antes vamos usar a linearidade da transformada de Laplace:

L e a + i b t + e a - i b t 2 = 1 2 L e a + i b t + 1 2 L e a - i b t

Agora basta substituir os resultados de antes:

L e a t c o s b t = 1 2 1 s - a - i b + 1 s - a + i b

Pronto, temos o resultado sem nem precisar resolver as integrais. Lembrando que esses resultados só são válidos para a condição s > a , que sai ao resolvermos a integral imprópria.

Resposta

L e a t c o s b t = 1 2 1 s - a - i b + 1 s - a + i b

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