Enunciado

Lembre que c o s h b t = ( e b t + e - b t ) / 2 e que s e n h b t = ( e b t - e - b t ) / 2 . Em cada um dos problemas de 7 a 10 encontre a transformada de Laplace da função dada; a e b são constantes reais.

9. f t = e a t c o s h b t

Passo 1

Começamos aplicando a transformada de Laplace:

L e a t c o s h b t = ∫ 0 ∞ e - s t e a t c o s h b t   d t

Usando a dica do enunciado:

c o s h b t = e b t + e - b t 2

Nossa integral fica:

L e a t c o s h b t = ∫ 0 ∞ e - s t e a t e b t + e - b t 2   d t

Resolvendo o produto, a gente vai ter:

L e a t c o s h b t = 1 2 ∫ 0 ∞ e a + b - s t + e ( a - b - s ) t   d t

Passo 2

Agora a gente integra cada termo e substitui o infinito pela aplicação do limite quando A → ∞ :

1 2 ∫ 0 ∞ e a + b - s t + e ( a - b - s ) t   d t = 1 2 lim A → ∞ ⁡ e ( a + b - s ) t a + b - s A 0 + e ( a - b - s ) t a - b - s A 0

Substituindo os limites da integral, ficamos com:

1 2 lim A → ∞ ⁡ e ( a + b - s ) A - e ( a + b - s ) 0 a + b - s + e ( a - b - s ) A - e ( a - b - s ) 0 a - b - s

Precisamos impor uma condição para que as exponenciais que têm A no expoente não explodam para infinito quando A → ∞ , para isso, a gente faz o seguinte:

a + b - s > 0

s < a + b

E para a outra exponencial, precisamos que:

a - b - s > 0

s > a - b

Juntando as duas condições:

a - b < s < a + b

Ou

- b < s - a < b

s - a > | b |

Passo 3

Pronto, agora podemos aplicar o limite, as exponenciais que envolvem A tenderão para zero, e a nossa transformada fica:

L e a t c o s h b t = 1 2 1 s - a - b + 1 s - a + b ,             s - a > | b |

Resposta

L e a t c o s h b t = 1 2 1 s - a - b + 1 s - a + b ,             s - a > | b |

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