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Exercícios Resolvidos de Cálculo Volume 1 7ª Edição - James Stewart

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 7ª Edição - James Stewart - 2.8 - 57

Lembre-se de que uma função f é chamada par se f - x = f ( x ) para todo x em seu domínio, e ímpar se f - x = - f ( x ) para cada um destes x . Demonstre cada uma das afirmativas a seguir

  1. A derivada de uma função par é uma função ímpar
  2. A derivada de uma função ímpar é uma função par

Passo 1

  1. Se f é uma função par, temos
  2. f ' - x = lim h → 0 ⁡ f - x + h - f - x h = lim h → 0 ⁡ f - x - h - f - x h = lim h → 0 ⁡ f x - h - f x h = - lim h → 0 ⁡ f x - h - f x - h

    Seja ∆ x = - h

    f ' - x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x - f x ∆ x = - f ' ( x )

    Logo, f ' ( x ) é uma função ímpar

    Passo 2

  3. Se f é uma função ímpar, temos

f ' - x = lim h → 0 ⁡ f - x + h - f - x h = lim h → 0 ⁡ f - x - h - f - x h = lim h → 0 ⁡ - f x - h + f x h = lim h → 0 ⁡ f x - h - f x - h

Seja ∆ x = - h

f ' - x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x - f x ∆ x = f ' ( x )

Logo, f ' ( x ) é uma função par

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