Enunciado

Lembre-se de que uma função f é chamada par se f - x = f ( x ) para todo x em seu domínio, e ímpar se f - x = - f ( x ) para cada um destes x . Demonstre cada uma das afirmativas a seguir

  1. A derivada de uma função par é uma função ímpar
  2. A derivada de uma função ímpar é uma função par

Passo 1

E aí, tudo bem?! Esse é um probleminha de demonstração! Temos que demostrar que:

  • A derivada de uma função par é uma função ímpar;
  • A derivada de uma função ímpar é uma função par

Pra isso a gente tem que ter em mente que uma função é par quando:

f - x = f ( x )

E ímpar quando:

f - x = - f ( x )

Pra fazer a demonstração a gente vai usar a definição da derivada que é:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Passo 2

Colocando a mão na massa, na letra (a) temos f x como uma função par:

f - x = f ( x )

Queremos provar que a sua derivada é ímpar, então:

f ' - x = - f ' ( x )

Temos que:

f ' - x = lim h → 0 ⁡ f - x + h - f - x h

Como f - x é par, então ela é igual a f x e:

f - x + h = f - - x + h = f x - h  

Então:

lim h → 0 ⁡ f - x + h - f - x h = lim h → 0 �� f x - h - f x h

Podemos fazer:

lim h → 0 ⁡ f x - h - f x h = - lim h → 0 ⁡ f x - h - f x - h

Fazendo ∆ x = - h :

- lim h → 0 ⁡ f x - h - f x - h = - lim h → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x  

Então temos:

f ' - x = - lim h → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x   = - f ' x

Portanto derivada da função par é ímpar!

Passo 3

Agora temos f x que é ímpar, então:

f - x = - f ( x )

Agora escrevemos f ' - x :

f ' - x = lim h → 0 ⁡ f - x + h - f - x h

Queremos provar que:

f ' - x = f ' x

Afinal a derivada de uma função ímpar é par! Como f x é ímpar podemos fazer:

- f - x = - - f x = f x  

Então:

f ' - x = lim h → 0 ⁡ f - x + h - f - x h = lim h → 0 ⁡ f - x + h + f x h

Também podemos fazer:

f - x + h = f - x - h = - f x - h

Assim:

lim h → 0 ⁡ f - x + h + f x h = lim h → 0 ⁡ - f x - h + f x h = lim h → 0 ⁡ f x - h - f x - h

Seja ∆ x = - h :

lim h → 0 ⁡ f x - h - f x - h = lim h → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x

Assim:

f ' - x = lim h → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x = - f x

Prontinhoo!!!!

Resposta

Demonstração!

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