Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 35
Lembre-se, da Seção , que uma função é dita harmônica em quando satisfaz a equação de Laplace, ou seja, em . Use a primeira identidade de Green (com as mesmas hipóteses que no exerício ) para mostrar que se for harmônica em , então . Aqui é a derivada normal de definida no exercício .
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Por simplicidade, vamos admitir , assim o gradiente dessa função é .
Passo 2
Pela primeira identidade de Green temos:
Show!
Passo 3
Sabendo que é harmônica em , então . Aplicando isso na equação final do passo anterior temos:
E temos que então:
Pronto, exatamente a propriedade que queríamos demonstrar =D
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Calcule cada uma das seguintes integrais ao longo da curva
Nos Exercícios 7-12, encontre as integrais de linha de F entre (0, 0, 0) e (1, 1, 1) sobre cada um dos seguintes caminhos da figura a seguir.c. O caminho C3 U C4 que consiste no segmento de reta de (0
Encontre os campos gradientes das funções nos Exercícios 1-4. g ( x , y , z ) = e z - l n x 2 + y 2
Encontre os campos gradientes das funções nos Exercícios 1-4. f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 - 1 / 2
Dê uma fórmula F = M(x, y)i + N(x, y)j para o campo vetorialno plano que tem a propriedade de F apontar na direção da origem com magnitude inversamente proporcional ao quadradoda distância de (x, y) à