Enunciado

Dê uma fórmula F = M(x, y)i + N(x, y)j para o campo vetorial

no plano que tem a propriedade de F apontar na direção da origem com magnitude inversamente proporcional ao quadrado

da distância de (x, y) à origem. (O campo não é definido em

(0, 0).)

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Precisamos encontrar um campo vetorial F → = M ( x , y ) i → + N ( x , y ) j → que tem a propriedade de apontar em direção a origem ( 0,0 ) com módulo inversamente proporcional ao quadrado da distância a origem.

Passo 2

Sendo o módulo de F → inversamente proporcional ao quadrado da distância da origem, podemos escrever que: | F → | = M 2 ( x , y ) + N 2 ( x , y ) = k x 2 + y 2 , para qualquer k maior que zero.Para determinarmos a direção e o sentido do vetor F → devemos considerar que ele é paralelo ao versor n → = - x x 2 + y 2 i → - y x 2 + y 2 j → que aponta para a origem.

Passo 3

Sabemos, então, que F → deve ter a forma: F → = a n → , onde a é maior que zero.Podemos assim escrever que: F → = - a x x 2 + y 2 i ‾ - a y x 2 + y 2 j → De onde concluímos que: M ( x , y ) = - a x x 2 + y 2 e N ( x , y ) = - a y x 2 + y 2

Passo 4

Da última expressão temos que a é também o módulo de F → . Logo, a = k x 2 + y 2 , que nos permite escrever que: F → = - k x x 2 + y 2 3 / 2 i → - k y x 2 + y 2 3 / 2 j → , para qualquer k maior que zero.

Resposta

Resposta nos passos.

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