lim x → - 1 - ⁡ x x 2 - 1

Passo 1

Temos que calcular o limite da função quando x se aproxima de 0 .

Quando aplicamos o limite, pela regra: o limite do quociente e o quociente dos limites,

lim x → - 1 - ⁡ x x 2 - 1   =       l i m x → - 1 - x l i m x → - 1 - ( x 2 - 1 ) =   l i m x → - 1 - x l i m x → - 1 - x 2 - l i m x → - 1 - 1  

Passo 2

Aplicando o limite da subtração (o limite da subtração é a subtração dos limites), a nossa conta fica assim ó:

l i m x → - 1 - x l i m x → - 1 - ( x 2 - 1 ) =   l i m x → - 1 - x l i m x → - 1 - x 2 - l i m x → - 1 - 1

Passo 3

Sabendo que l i m x → - 1 - 1 = 1 , pois não depende de x e substituindo,

l i m x → - 1 - x l i m x → - 1 - x 2 - l i m x → - 1 - 1 =   - 1 - 1 2 - 1

Teremos que o denominador se anula, mas o numerador não, então esse limite tende à .

Passo 4

Vamos analisar se o limite tende para o infinito positivamente ou negativamente, certo?

Perceba que, usando Bháskara em x 2 - 1 , teremos que   x = - 1   e   x = 1 são raízes, então reescreveremos x 2 - 1 =   x + 1 x - 1 .

Substituindo as igualdades lá no limite,

lim x → - 1 - ⁡ x x 2 - 1 =   l i m x → - 1 - x x + 1 x - 1

Passo 5

Como se aproxima de - 1 + , o numerador assume valores negativos , por outro lado, o denominador fica positivo. Ou seja,

n e g a t i v o n e g a i v o ⋅ n e g a t i v o = n e g a t i v o p o s i t i v o = n e g a t i v o

Resposta

lim x → - 1 - ⁡ x x 2 - 1 = -   ∞

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