Enunciado

underset(x -> - 1^-)(lim) (x)/(x^2 - 1)

Passo 1

Temos que calcular o limite da função quando x se aproxima de 0 .

Quando aplicamos o limite, pela regra: o limite do quociente e o quociente dos limites,

underset(x -> - 1^-)(lim) (x)/(x^2 - 1) = (underset(x -> - 1^-)(l i m) x)/(underset(x -> - 1^-)(l i m) ( x^2 - 1 )) = (underset(x -> - 1^-)(l i m) x)/(underset(x -> - 1^-)(l i m) x^2 - underset(x -> - 1^-)(l i m) 1)

Passo 2

Aplicando o limite da subtração (o limite da subtração é a subtração dos limites), a nossa conta fica assim ó:

(underset(x -> - 1^-)(l i m) x)/(underset(x -> - 1^-)(l i m) ( x^2 - 1 )) = (underset(x -> - 1^-)(l i m) x)/(underset(x -> - 1^-)(l i m) x^2 - underset(x -> - 1^-)(l i m) 1)

Passo 3

Sabendo que underset(x -> - 1^-)(l i m) 1 = 1 , pois não depende de x e substituindo,

(underset(x -> - 1^-)(l i m) x)/(underset(x -> - 1^-)(l i m) x^2 - underset(x -> - 1^-)(l i m) 1) = (- 1)/(- 1^2 - 1)

Teremos que o denominador se anula, mas o numerador não, então esse limite tende à oo .

Passo 4

Vamos analisar se o limite tende para o infinito positivamente ou negativamente, certo?

Perceba que, usando Bháskara em x^2 - 1 , teremos que x = - 1 e x = 1 são raízes, então reescreveremos x^2 - 1 = (x + 1) (x - 1) .

Substituindo as igualdades lá no limite,

underset(x -> - 1^-)(lim) (x)/(x^2 - 1) = underset(x -> - 1^-)(l i m) (x)/((x + 1) (x - 1))

Passo 5

Como se aproxima de - 1^+ , o numerador assume valores negativos , por outro lado, o denominador fica positivo. Ou seja,

(n e g a t i v o)/(n e g a i v o * n e g a t i v o) = (n e g a t i v o)/(p o s i t i v o) = n e g a t i v o

Resposta

underset(x -> - 1^-)(lim) (x)/(x^2 - 1) = - oo

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Calcule o limite.underset(h - 1)(lim) (sqrt(h) - 1)/(h - 1)
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