lim x → 0 ⁡ 1 -   cos ⁡ x x 2

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 0 0 para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Primeiramente vamos multiplicar e dividir o limite pelo conjugado de 1 -   cos ⁡ x .

lim x → 0 ⁡ 1 -   cos ⁡ x x 2 ∙ 1 +   cos ⁡ x 1 +   cos ⁡ x

lim x → 0 ⁡ 1 2 -   cos 2 ⁡ x x 2 ( 1 +   cos ⁡ x )

Passo 2

Agora apliquemos a identidade fundamental da trigonometria no limite.

sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

sin 2 ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x

lim x → 0 ⁡ sin 2 ⁡ x x 2 ( 1 +   cos ⁡ x )

Passo 3

Agora vamos aplicar a propriedade da multiplicação de limites e a propriedade da potência de limites.

lim x → 0 ⁡ sin 2 ⁡ x x 2 ∙ l i m x → 0 1 ( 1 +   cos ⁡ x )

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x 2 ∙ l i m x → 0 1 ( 1 +   cos ⁡ x )

Passo 4

Por fim utilizaremos do limite fundamental lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x = 1 .

1 2 ∙ 1 ( 1 +   cos ⁡ 0 )

( 1 ) ∙ 1 ( 1 +   1 )

1 2

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 -   cos ⁡ x x 2 =   1 2

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