lim t → 0 ⁡ sin ⁡ 3 t sin ⁡ 6 t

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 0 0 para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Primeiramente vamos aplicar a propriedade da multiplicação de limites, após vamos multiplicar e dividir o limite por 3, 6 e t para em seguida aplicar a propriedade de colocar a constante fora do limite.

lim t → 0 ⁡ sin ⁡ 3 t ∙ lim t → 0 ⁡ 1 sin ⁡ 6 t

lim t → 0 ⁡ sin ⁡ 3 t ∙ 3 3 ∙ lim t → 0 ⁡ 1 sin ⁡ 6 t ∙ 6 6 ∙ t t

3 6 lim t → 0 ⁡ sin ⁡ 3 t 3 t ∙ lim t → 0 ⁡ 6 t sin ⁡ 6 t

Passo 2

Agora vamos substituir 3t por u, 6t por v e mudar a aproximação desse limite de acordo com a substituição.

3 t = u ,   6 t = v  

t → 0 ⇒ u → 0 ,   t → 0 ⇒ v → 0  

3 6 lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u ∙ lim v → 0 ⁡ v sin ⁡ v

Passo 3

Agora vamos multiplicar e dividir o limite por 1 v e aplicar a propriedade da divisão de limites.

3 6 lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u ∙ lim v → 0 ⁡ v sin ⁡ v ∙ 1 v 1 v

3 6 lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u ∙ l i m v → 0   1 l i m v → 0 sin ⁡ v v

Passo 4

Por fim utilizaremos do limite fundamental lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x = 1 .

3 6 lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u ∙ l i m v → 0   1 l i m v → 0 sin ⁡ v v

3 6 1 ∙ 1 1

1 2

Resposta

lim t → 0 ⁡ sin ⁡ 3 t sin ⁡ 6 t =   1 2

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