lim x → 0 ⁡ 3 x 2 1 - cos 2 ⁡ 1 2 x

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 0 0 para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Primeiramente apliquemos a identidade fundamental da trigonometria no limite.

sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

sin 2 ⁡ 1 2 x + cos 2 ⁡ 1 2 x = 1

sin 2 ⁡ 1 2 x = 1 - cos 2 ⁡ 1 2 x

lim x → 0 ⁡ 3 x 2 sin 2 ⁡ 1 2 x

Passo 2

Agora vamos substituir 1 2 x por u e mudar a aproximação desse limite de acordo com a substituição.

1 2 x = u

x = 2 u

x → 0 ⇒ u → 0  

lim u → 0 ⁡ 3 ( 2 u ) 2 sin 2 ⁡ u

lim u → 0 ⁡ 3 ∙ 4   ∙ u 2 sin 2 ⁡ u

Passo 3

Agora vamos aplicar a propriedade de colocar a constante fora do limite e em seguida aplicar a propriedade da potência de limites.

12 ∙ lim u → 0 ⁡ u 2 sin 2 ⁡ u

12 ∙ lim u → 0 ⁡ u sin ⁡ u 2

Passo 4

Agora vamos multiplicar e dividir o limite por 1 u e aplicar a propriedade da divisão de limites.

12 ∙ lim u → 0 ⁡ u sin ⁡ u ∙ 1 u 1 u 2

12 ∙ lim u → 0 ⁡ 1 lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u 2

Passo 5

Por fim utilizaremos do limite fundamental lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u = 1 .

12 ∙ ⁡ lim u → 0 ⁡ 1 lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u 2

12 ∙ ⁡ 1 1 2

12

Resposta

lim x → 0 ⁡ 3 x 2 1 - cos 2 ⁡ 1 2 x = 12

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