Enunciado

7. Para o limite

lim x → 2 ⁡ x 3 - 3 x + 4 = 6

Ilustre a definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ϵ = 0,2 e ϵ = 0,1

Passo 1

Opaa, tudo joia? Não precisa assustar com a questão, nós vamos resolver passo a passo, olha só!

Aqui nós temos um limite que quando x se aproxima de 2 , a expressão x 3 - 3 x + 4 se aproxima de 6.

A ideia vai ser usar a definição de limite, como:

lim x → a ⁡ f x = L

Que possui para todo número ϵ > 0 houver um número δ > 0 tal que:

Se 0 < x - a < δ então f x - L < ϵ

Essa é a regrinha, beleza? Então a partir daqui iremos usar essa relação para substituir com os valores dados no enunciado!!

Passo 2

Do enunciado, temos o seguinte:

lim x → 2 ⁡ x 3 - 3 x + 4 = 6

Plotando o gráfico da nossa função, teremos:

Para ϵ = 0,2 :

f x - 6 < 0,2

Logo,

- 0,2 < f x - 6 < 0,2

5,8 < f x < 6,2

Pelo gráfico temos o seguinte:

x 3 - 3 x + 4 = 5,8 → x ≈ 1,9774

Então,

2 - δ 1 = 1,9774 → δ 1 = 0,0226

Para o outro ponto:

x 3 - 3 x + 4 = 6,2 → x ≈ 2,022

Então,

2 + δ 2 = 2,022 → δ 2 = 0,0219

Como nossos valores de x tem que ficar naquela faixa, vamos pegar o menor δ . Assim,

δ = 0,0219

Passo 3

Continuando a questão, vamos plotar novamente o nosso gráfico.

Para ϵ = 0,1 :

f x - 6 < 0,1

Logo,

- 0,1 < f x - 6 < 0,1

5,9 < f x < 6,1

Pelo gráfico temos o seguinte:

x 3 - 3 x + 4 = 5,9 → x ≈ 1,9888

Então,

2 - δ 1 = 1,9888 → δ 1 = 0,0112

Para o outro ponto:

x 3 - 3 x + 4 = 6,1 → x ≈ 2,0110

Então,

2 + δ 2 = 2,0110 → δ 2 = 0,0110

Como nossos valores de x tem que ficar naquela faixa, vamos pegar o menor δ . Assim,

δ = 0,0110

Resposta

ϵ = 0,2 ;   δ = 0,0219

ϵ = 0,1 ;   δ = 0,0110

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22. underset(x - - (3)/(2))(lim) (9 - 4 x^2)/(3 + 2 x) = 6
20. underset(x - 10)(lim) (3 - (4)/(5) x) = - 5
21. underset(x - 2)(lim) (x^2 + x - 6)/(x - 2) = 5